2019届高考数学圆锥曲线定义应用

圆锥曲线定义的应用。

一、基本知识概要1、知识精讲：

涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形，常用第一定义结合正余弦定理；

涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统一的定义。椭圆的定义：点集=；双曲线的定义：点集=的点的轨迹。抛物线的定义：到一个定点ｆ的距离与到一条得直线ｌ的距离相等的点的轨迹．

统一定义：=0＜e＜1为椭圆，e>1为双曲线，e＝1为抛物线。

重点、难点：培养运用定**题的意识2、思维方式：等价转换思想，数形结合特别注意：圆锥曲线各自定义的区别与联系。

二、例题选讲。

例1、已知两个定圆1和2，它们的半径分别为1和2，且|12|=4，动圆与圆1内切，又与圆2外切，建立适当的坐标系，求动圆心的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线。

解：以12的中点为原点，12所在直线为轴建立平面直角坐标系。由|12|=4有1（-2，0），2（2，0）。

设动圆的半径为r。由动圆与圆1内切有|1|=|r-1|由动圆与圆2内切有|2|=r+2。∴|1|+|2|=3或|1|-|2|=-3,∵|12|=4∴|1|-|2|= 3∴的轨迹是以为焦点，长轴为3的双曲线的左支。

所以的轨迹方程为（x<0）

思维点拔]利用圆锥曲线定义求轨迹是一种常用的方法。

变式练习：f１、f２是椭圆（a>b>0）的两焦点，p是椭圆上任一点，从任一焦点引∠f1pf2的外角平分线的垂线，垂足为q的轨迹为（）

a．圆b．椭圆．双曲线d．抛物线延长垂线f1q交f2p的延长线于点a等腰三角形apf1中，选a

例２：已知双曲线（a＞０，b＞０）为双曲线上任一点，∠f1pf2=θ,求δf1pf2的面积．

解：在δf1pf2中，由三角形面积公式和余弦定理得ｓδf1pf2＝｜ｐsinθ①(2)2＝｜ｐ2+｜ｐ2-2｜ｐｆsθ②由双曲线的定义可得2a,即｜ｐｆ2+｜ｐ2-2｜ｐｆ4a2③由②③得｜ｐｆ将④①代入得ｓδf1pf2＝b2 =b2t ,所以双曲线的焦点三角形的面积为b2t．

思维点拔]焦点三角形中，通常用定义和正余弦定理。

例３：已知ａ（，为一定点，ｆ为双曲线的右焦点，ｍ在双曲线右支上移动，当｜ａｍ最小时，求ｍ点的坐标．解：∵过ｍ作ｍｐ准线于点ｐ，则当且公当ａ、ｍ三点共线时最小。

此时ｍ（，思维点拔]距离和差最值问题，常利用三角形两边之和差与第三边之间的关系12数量关系用定义进行转换。

变式：设ｐ（x,）是椭圆（a>b>0）上一点，ｆ１为椭圆的两焦点，求｜ｐｆ的最大值和最小值。解：

由椭圆第二定义知｜ｐｆa+ex,｜ｐ2｜＝a-ex,则｜ｐｆa2-e2x2,而0≤x2≤a2,所以｜ｐｆ的最大值为a2，最小值为b2。

例4．过抛物线2＝2px的焦点f任作一条直线，交这抛物线于p1、p2两点，求证：以p1p2为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识证比较简捷．

证明：如图2-17．设p1p2的中点为p0，过p1、p0、p2分别向准线l引垂线p1q1，p0q0，p2q2，垂足为q1、q0、q2，则｜p1f｜＝｜p1q1｜，｜p2f｜＝｜p2q2｜∴｜p1p2｜＝｜p1f｜＋｜p2f｜＝｜p1q1｜＋｜p2q2｜＝2｜p0q0｜

所以p0q0是以p1p2为直径的圆p0的半径，且p0q0⊥l，因而圆p0

和准线l相切．

思维点拔]以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切．类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离；以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．以上结论均可用第二定义证明之．

变式：求证：以双曲线的任意焦半径为直径的圆，与以实轴为直径的圆相切．

取f1p的中点为1，连结1，只须证明：以f1p为直径的圆与实轴a1a2为直径的圆内切．在△pf1f2中，1为△pf1f2的中位线故以双曲线的任意焦半径为直径的圆，与以实轴为直径的圆内切．

例、求过定点（1,2），以x轴为准线，离心率为0的椭圆的下顶点的轨迹方程。

解：设下顶点为a(x,)，由题意知x轴为椭圆的下准线，设下焦点为f(x0,0)

则。由椭圆定义。

将代入即可得椭圆方程为：三、堂小结。

1、圆锥曲线的定义是根本，对于某些问题利用圆锥曲线的定义求解比较简捷。

涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形，常用第一定义结合正余弦定理；涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统一的定义。

四、作业布置：优化训练。