2012届全国百套高考数学模拟试题分类汇编。
08圆锥曲线。
三、解答题(第二部分)
26、(福建省泉州一中高2012届第一次模拟检测)已知椭圆c：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点f且斜率为1的直线交椭圆c于a，b两点，n为弦ab的中点。
1）求直线on（o为坐标原点）的斜率kon ；
2）对于椭圆c上任意一点m ，试证：总存在角（∈r）使等式：＝cos＋sin成立。
解：(1）设椭圆的焦距为2c,因为，所以有，故有。从而椭圆c的方程可化为2分。
易知右焦点f的坐标为（），据题意有ab所在的直线方程为3分。
由①，②有。
设，弦ab的中点，由③及韦达定理有：
所以，即为所求5分。
2）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立。设，由1）中各点的坐标有：
所以。7分。
又点在椭圆c上，所以有整理为。
由③有：。所以。
又a﹑b在椭圆上，故有。
将⑤，⑥代入④可得11分。
对于椭圆上的每一个点，总存在一对实数，使等式成立，而。
在直角坐标系中，取点p（），设以x轴正半轴为始边，以射线op为终边的角为，显然。
也就是：对于椭圆c上任意一点m ，总存在角（∈r）使等式：＝cos＋sin成立。
27、(福建省厦门市2012学年高三质量检查)已知曲线c上任意一点m到点f（0，1）的距离比它到直线的距离小1。
（1）求曲线c的方程；
（2）过点。
①当的方程；
当△aob的面积为时（o为坐标原点），求的值。
（1）解法一：设， …1分。
即。当； …3分。
当 ……4分。
化简得不合。
故点m的轨迹c的方程是 ……5分。
（1）解法二：的距离小于1，点m在直线l的上方，点m到f（1，0）的距离与它到直线的距离相等 ……3分。
所以曲线c的方程为 ……5分。
（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线c只有一个交点，不合题意，设直线m的方程为，代入6分。
与曲线c恒有两个不同的交点。
设交点a，b的坐标分别为，则 ……7分。
由，……9分。
点o到直线m的距离，……10分。
舍去）………12分。
当方程（☆）的解为。
若。若 ……13分。
当方程（☆）的解为。
若。若 ……14分。
所以， 28、(福建省仙游一中2012届高三第二次高考模拟测试)已知方向向量为的直线过椭圆c：＝1(a＞b＞0)的焦点以及点(0，)，椭圆c的中心关于直线的对称点在椭圆c的右准线上。
求椭圆c的方程。
过点e(-2，0）的直线交椭圆c于点m、n，且满足，(o为坐标原点)，求直线的方程。
解：直线①，过原点垂直于的直线方程为②
解①②得，∵椭圆中心o(0，0)关于直线的对称点在椭圆c的右准线上，2分）
直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为(2，0)，∴故椭圆c的方程为4分）
当直线的斜率存在时，设，代入③并整理得。
设，则………5分），…7分）
点到直线的距离。
∵，即，又由得 ，9分）
而，∴，即，解得，此时11分）
当直线的斜率不存在时，，也有，经检验，上述直线均满足，故直线的方程为
29、(福建省漳州一中2024年上期期末考试)已知，点满足，记点的轨迹为。
ⅰ）求轨迹的方程；
ⅱ）若直线过点且与轨迹交于、两点。
（i）设点，问：是否存在实数，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由。
ii）过、作直线的垂线、，垂足分别为、，记，求的取值范围。
解：（ⅰ由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支，由，∴，故轨迹e的方程为…（3分）
ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消得，设、，，解得5分）
i）∵………7分）
假设存在实数，使得，故得对任意的恒成立，∴，解得。
∴当时，.当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立，综上，存在，使得8分）
（ii）∵，直线是双曲线的右准线9分）
由双曲线定义得：，方法一：∴
10分）11分）
注意到直线的斜率不存在时，综上12分）
方法二：设直线的倾斜角为，由于直线。
与双曲线右支有二个交点，∴，过。
作，垂足为，则，
10分）由，得。
故： 30、(甘肃省河西五市2024年高三第一次联考)已知双曲线的离心率e＝2，且、分别是双曲线虚轴的上、下端点
ⅰ）若双曲线过点（，）求双曲线的方程；
ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若、是双曲线上不同的两点，且，求直线的方程
解：（ⅰ双曲线方程为，双曲线方程为，又曲线c过点q（2，），双曲线方程为 ……5分。
ⅱ）∵m、b2、n三点共线 ,
1）当直线垂直x轴时，不合题意
2）当直线不垂直x轴时，由b1（0，3），b2（0，－3），可设直线的方程为，①
直线的方程为 ②
由①，②知代入双曲线方程得。
得，解得， ∴故直线的方程为
31、(甘肃省兰州一中2012届高三上期期末考试)已知椭圆c：的左、右焦点为f1、f2，离心率为e. 直线与x轴、y轴分别交于点a、b，m是直线l与椭圆c的一个公共点，p是点f1关于直线l的对称点，设。
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）若的周长为6；写出椭圆c的方程。
解：（ⅰ证法一：因为a、b分别是直线轴、y轴的交点，所以a、b的坐标分别是 ……2分。
由 ……4分。
所以点m的坐标是。
即6分。证法二：因为a、b分别是直线轴、y轴的交点，所以a、b的坐标分别是2分。
设m的坐标是。
………4分。
因为点m在椭圆上，所以。
即 ………6分。
ⅱ）当的周长为6，得。
所以。32、（广东省佛山市2024年高三教学质量检测一）抛物线的准线的方程为，该抛物线上的每个点到准线的距离都与到定点n的距离相等，圆n是以n为圆心，同时与直线相切的圆，ⅰ）求定点n的坐标；
ⅱ）是否存在一条直线同时满足下列条件：
分别与直线交于a、b两点，且ab中点为；
被圆n截得的弦长为．
解：（1）因为抛物线的准线的方程为。
所以，根据抛物线的定义可知点n是抛物线的焦点2分。
所以定点n的坐标为3分。
2）假设存在直线满足两个条件，显然斜率存在4分。
设的方程为5分。
以n为圆心，同时与直线相切的圆n的半径为， -6分。
方法1：因为被圆n截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于17分。
即，解得8分。
当时，显然不合ab中点为的条件，矛盾9分。
当时，的方程为10分。
由，解得点a坐标为11分。
由，解得点b坐标为12分。
显然ab中点不是，矛盾13分。
所以不存在满足条件的直线14分。
方法2：由，解得点a坐标为7分。
由，解得点b坐标为8分。
因为ab中点为，所以，解得10分。
所以的方程为，圆心n到直线的距离11分。
因为被圆n截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ -13分。
所以不存在满足条件的直线14分。
方法3：假设a点的坐标为，因为ab中点为，所以b点的坐标为8分。
又点b 在直线上，所以9分。
所以a点的坐标为，直线的斜率为4，所以的方程为10分。
圆心n到直线的距离11分。
圆锥曲线解答题
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圆锥曲线解答题
20 2014辽宁理20，本小题满分12分 圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为p 如图 双曲线过点p且离心率为 i 求的方程 ii 椭圆过点p且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于a，b两点，若以线段ab为直径的圆过点p，求的方程 解 设切点坐标为，则切线...
圆锥曲线解答题
t span c r r 56年级学科本学期第次练习。命题人审题人印刷时间本次练习限时分钟。本次练习基础题是中等难度的是高难度的是。圆锥曲线解答题训练 4 参 2 直线的方程是或 解析 试题分析 1 根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆，其中，则 所以动点的轨迹方程为4分。2 当直线的斜率不存在时，...