圆锥曲线解答题。
21.（2012江苏19）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．
1）求椭圆的方程；
2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点p．
i）若，求直线的斜率；
ii）求证：是定值．
解：（1）由题设知，，由点在椭圆上，得。
由点在椭圆上，得。
椭圆的方程为．
2）由（1）得，，又∵∥，设、的方程分别为，。
同理，． （i）由得，．解得=2．
∵注意到，∴．
∴直线的斜率为．
（ii）证明：∵∥即。 ∴
由点在椭圆上知，，∴同理。．
由得，∴．∴是定值．
22.【2012高考安徽文20】（本小题满分13分）
如图，分别是椭圆： +1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点， =60°.
ⅰ）求椭圆的离心率；
ⅱ）已知△的面积为40，求a, b 的值．
解析】（）设；则。
在中， 面积。
解析】23.【2012高考广东文20】（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左焦点为，且点在上。
1）求椭圆的方程；
2）设直线同时与椭圆和抛物线：相切，求直线的方程。
答案】解析】（1）因为椭圆的左焦点为，所以，点代入椭圆，得，即，所以，所以椭圆的方程为。
2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，消去并整理得，因为直线与椭圆相切，所以，整理得 ①
消去并整理得。
因为直线与抛物线相切，所以，整理得 ②
综合①②，解得或．
所以直线的方程为或．
24．【2102高考北京文19】(本小题共14分)
已知椭圆c：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为，离心率为， 直线与椭圆c交与不同的两点．
ⅰ）求椭圆c的方程；
ⅱ）当△amn的面积为时，求k的值．
5.(2012北京理19)（本小题共14分）
已知曲线。1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；
2）设，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与。
曲线交于不同的两点，，直线与直线交于点，求证：，三点共线。
5.解：（1）原曲线方程可化简得：
由题意可得：，解得：．
2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，解得：．
由韦达定理得：①，
设，方程为：，则，欲证三点共线，只需证，共线。
即成立，化简得：
将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。
30．(2012湖南文21)（本小题满分13分）
在直角坐标系xoy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆e的一个焦点为圆c：的圆心．
ⅰ）求椭圆e的方程；
ⅱ）设是椭圆e上一点，过作两条斜率之积为的直线l1，l2．当直线l1，l2都与圆相切时，求的坐标．
30．解：（ⅰ由，得，故圆的圆心为点。
从而可设椭圆ｅ的方程为其焦距为，
由题设知。故椭圆ｅ的方程为：
ⅱ）设点的坐标为，的斜分率分别为。
则的方程分别为且。
由与圆相切，得，即
同理可得 .
从而是方程的两个实根，
于是 ①且。
由得解得或。
由得由得它们满足①式，故点ｐ的坐标为，或，或，或。
点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法。第一问根据条件设出椭圆方程，求出即得椭圆e的方程，第二问设出点p坐标，利用过p点的两条直线斜率之积为，得出关于点p坐标的一个方程，利用点p在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点p坐标。
29.(2012浙江文22)如图，在直角坐标系中，点到抛物线c： =2px（p＞0）的准线的距离为．点是上的定点，a，b是c上的两动点，且线段ab被直线om平分．
1）求的值；
2）求面积的最大值．
解：（1）由题意得得。
2）设，线段ab的中点坐标为。
由题意得，设直线ab的斜率为k（k）.
由，得，得。
所以直线ab的方程为，即。
由，整理得，所以，，.
从而得，设点p到直线ab的距离为d，则，设的面积为s，则。
由，得。令，，则，则。
由，得，所以，故的面积的最大值为．
17．(2012 全国大纲版理21)
已知抛物线与圆有一个公共点，且在点处两曲线的切线为同一直线。
ⅰ）求；ⅱ）设是异于且与及都相切的两条直线，的交点为，求到的距离．
18.(2012湖南理21)（本小题满分13分）
在直角坐标系中，曲线上的点均在圆：外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值。
1)求曲线的方程；
2)设为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和。证明：当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值。
18.（1）解法1 ：设的坐标为，由已知得。
易知圆上的点位于直线的右侧。于是，所以。
化简得曲线的方程为`.
解法2 ：由题设知，曲线上任意一点到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为。
2）当点在直线上运动时，的坐标为，又，则过且与圆。
相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为即。于是。整理得。
设过所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，故。
由得 ③设四点的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，所以。
同理可得。
于是由②，④三式得。
所以，当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值6400.
点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法。第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想。
28．（2012 新课标文、理20）（本小题满分12分）
设抛物线c：x2=2py(p>0)的焦点为f，准线为l，a为c上一点，已知以f为圆心，fa为半径的圆f交l于b，d两点。
i）若∠bfd=90°,△abd的面积为4，求p的值及圆f的方程；
ii）若a，b ，f三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与c只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值。
答案】（1）由对称性知：是等腰直角，斜边。
点到准线的距离。
圆的方程为。
（2）由对称性设，则。
点关于点对称得：
得：，直线。
切点。直线。
坐标原点到距离的比值为。
33．(2012 辽宁文20)(本小题满分12分)
如图，动圆，1 (ⅰ当t为何值时，矩形abcd的面积取得最大值？并求出其最大面积；
(ⅱ)求直线aa1与直线a2b交点m的轨迹方程．
解析】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大。
21．(2012辽宁理20)(本小题满分12分)
如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，．点分别为的左，右顶点，与相交于a，b，c，d四点．
(ⅰ)求直线与直线交点m的轨迹方程；
(ⅱ)设动圆与相交于四点，其中，．若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值．
点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。本题考查综合性较强，运算量较大。在求解点的轨迹方程时，要注意首先写出直线和直线的方程，然后求解。
属于中档题，难度适中。
25.(2012重庆理20)
如图，设椭圆的中心为原点，长轴在x轴上，上顶点为a，左、右焦点分别为，线段的中点分别为，且是面积为4的直角三角形．
ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
ⅱ）过做直线交椭圆于p，q两点，使，求直线的方程．
答案】命题立意】本题考查椭圆的标准方程，平面向量数量积的基本运算，直线的一般式方程以及直线与圆锥曲线的综合问题。
解：(1)如图，设所求椭圆的标准方程为，右焦点为．
因为是直角三角形，又， 故为直角，因此，得．
25．(2012 山东文21)
如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形abcd的面积为8．
ⅰ)求椭圆m的标准方程；
ⅱ) 设直线与椭圆m有两个不同的交点与矩形abcd有两个不同的交点．求的最大值及取得最大值时m的值．
25．解：(i)……
矩形abcd面积为8，即……②
由①②解得：，椭圆m的标准方程是。
ii)，设，则，由得。
当过点时，，当过点时，.
当时，有，其中，由此知当，即时，取得最大值。
由对称性，可知若，则当时，取得最大值。
当时，由此知，当时，取得最大值。
综上可知，当和0时，取得最大值。
26．(2102 福建文21)（本小题满分12分）
如图，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上．
i）求抛物线的方程；
ii）设动直线与抛物线相切于点，与直线相交于点．证明以为直径的圆恒过轴上某定点．
本小题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想．
26．解：依题意=,设，则，．
因为点在上，所以，解得．
所以抛物线e的方程为．
2)由（1）知， ．
设，则，并且的方程为，即．
由得。所以．
设，令对满足的，恒成立．
由于，由于， 得，即． （
由于（*）对满足的恒成立，所以。
解得．故以为直径的圆恒过轴上的定点．
解法二 1)同解法一。
2）由（1）知， ．
设，则，并且的方程为，即．
由得。所以．
取=2，此时p(2，1)，q(0，-1)，以pq为直径的圆为，交y轴于点（0,1）或（0，-1）；
取=1，此时，以pq为直径的圆为，交y轴于或．
故若满足条件得点m存在，只能是．
以下证明点就是所要求的点．
因为， 故以pq为直径的圆恒过y轴上的定点m．
26.(2012四川理21)(本小题满分12分)
2019高考圆锥曲线解答题
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