圆锥曲线解答题a

2012届全国百套高考数学模拟试题分类汇编。

08圆锥曲线。

三、解答题(第一部分)

1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设、分别是椭圆的左、右焦点。

ⅰ）若p是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；

（ⅱ）是否存在过点a（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点c、d，使得|f2c|=|f2d|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由。

解：（ⅰ易知

设p（x，y），则。

即点p为椭圆短轴端点时，有最小值3；

当，即点p为椭圆长轴端点时，有最大值4

ⅱ）假设存在满足条件的直线l易知点a（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k

直线l的方程为

由方程组。依题意

当时，设交点c，cd的中点为r，则。

又|f2c|=|f2d|

20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立，所以不存在直线，使得|f2c|=|f2d|

综上所述，不存在直线l，使得|f2c|=|f2d|

2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点p（1，0），且与定直线l:x=-1相切，点c在l上。

1)求动圆圆心的轨迹m的方程；

i）问：△abc能否为正三角形？若能，求点c的坐标；若不能，说明理由。

ii）当△abc为钝角三角形时，求这种点c的纵坐标的取值范围。

解：(1)依题意，曲线m是以点p为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线m的方程为y2=4x.

假设存在点c（－1，y），使△abc为正三角形，则|bc|=|ab|且|ac|=|ab|，即。

因此，直线l上不存在点c，使得△abc是正三角形。

ii）解法一：设c（－1，y）使△abc成钝角三角形，cab为钝角。

该不等式无解，所以∠acb不可能为钝角。

因此，当△abc为钝角三角形时，点c的纵坐标y的取值范围是：

解法二：以ab为直径的圆的方程为：

当直线l上的c点与g重合时，∠acb为直角，当c与g 点不重合，且a，b，c三点不共线时， ∠acb为锐角，即△abc中∠acb不可能是钝角。

因此，要使△abc为钝角三角形，只可能是∠cab或∠cba为钝角。

a，b，c三点共线，不构成三角形。

因此，当△abc为钝角三角形时，点c的纵坐标y的取值范围是：

3、(江苏省启东中学高三综合测试三)（1）在双曲线xy=1上任取不同三点a、b、c，证明：⊿abc的垂心h也在该双曲线上；

2）若正三角形abc的一个顶点为c(―1,―1)，另两个顶点a、b在双曲线xy=1另一支上，求顶点a、b的坐标。

解：（1）略；（2）a(2+,2－),b(2－,2+)或a(2－,2+),b(2+,2－)

4、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知以向量v=(1,)为方向向量的直线l过点(0,)，抛物线c： (p>0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线上．

ⅰ）求抛物线c的方程；

ⅱ）设a、b是抛物线c上两个动点，过a作平行于x轴的直线m，直线ob与直线m交于点n，若(o为原点，a、b异于原点)，试求点n的轨迹方程．

解：（ⅰ由题意可得直线l： ①

过原点垂直于l的直线方程为 ②

解①②得．

抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．，

抛物线c的方程为．

ⅱ）设，由，得．

又，．解得 ③

直线on：，即 ④

由③、④及得，点n的轨迹方程为．

5、(安徽省皖南八校2012届高三第一次联考)已知线段ab过轴上一点，斜率为，两端点a，b到轴距离之差为，1）求以o为顶点，轴为对称轴，且过a，b两点的抛物线方程；

2）设q为抛物线准线上任意一点，过q作抛物线的两条切线，切点分别为m，n，求证：直线mn过一定点；

解：（1）设抛物线方程为，ab的方程为，联立消整理，得；∴，又依题有，∴，抛物线方程为；

2）设，，的方程为；

过，∴，同理。

为方程的两个根；∴；

又，∴的方程为，显然直线过点。

6、(江西省五校2012届高三开学联考)已知圆上的动点，点q在np上，点g在mp上，且满足。

（i）求点g的轨迹c的方程；

（ii）过点（2，0）作直线，与曲线c交于a、b两点，o是坐标原点，设是否存在这样的直线，使四边形oasb的对角线相等（即|os|=|ab|）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由。

解：（1）q为pn的中点且gq⊥pn

gq为pn的中垂线|pg|=|gn|

∴|gn|+|gm|=|mp|=6，故g点的轨迹是以m、n为焦点的椭圆，其长半轴长，半焦距，∴短半轴长b=2，∴点g的轨迹方程是………5分。

（2）因为，所以四边形oasb为平行四边形。

若存在l使得||=则四边形oasb为矩形。

若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由。

矛盾，故l的斜率存在。 …7分。

设l的方程为。

9分把①、②代入。

∴存在直线使得四边形oasb的对角线相等。

7、(安徽省淮南市2012届高三第一次模拟考试)已知椭圆c的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率等于。

1）求椭圆c的方程；

2）过椭圆c的右焦点f作直线l交椭圆c于a、b两点，交y轴于m点，若=λ1， =2，求证λ1+λ2为定值。

解：（i）设椭圆c的方程为，则由题意知b = 1.

椭圆c的方程为5分。

（ii）方法一：设a、b、m点的坐标分别为。

易知f点的坐标为（2，0）.

将a点坐标代入到椭圆方程中，得。

去分母整理得10分。

12分。方法二：设a、b、m点的坐标分别为又易知f点的坐标为（2，0）.

显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是。

将直线l的方程代入到椭圆c的方程中，消去y并整理得。

7分。8分。

又。8、(安徽省巢湖市2012届高三第二次教学质量检测)已知点r（－3,0）,点p在y轴上，点q在x轴的正半轴上，点m在直线pq上 ,且满足，.

ⅰ）⑴当点p在y轴上移动时，求点m的轨迹c的方程；

ⅱ）设为轨迹c上两点，且，n(1,0)，求实数，使，且。

解：(ⅰ设点m(x,y)，由得p(0，)，q().

由得(3，)·0,即。

又点q在x轴的正半轴上，故点m的轨迹c的方程是。……6分。

ⅱ）解法一：由题意可知n为抛物线c:y2＝4x的焦点，且a、b为过焦点n的直线与抛物线c的两个交点。

当直线ab斜率不存在时，得a(1,2)，b(1,-2)，|ab|，不合题意；……7分。

当直线ab斜率存在且不为0时，设，代入得。

则|ab|,解得10分。

代入原方程得，由于，所以，由，得13分。

解法二：由题设条件得。

由（6）、（7）解得或，又，故。

9、(北京市朝阳区2024年高三数学一模)已知椭圆w的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，两条准线间的距离为6. 椭圆w的左焦点为，过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆w交于不同的两点、，点关于轴的对称点为。

ⅰ）求椭圆w的方程；

ⅱ）求证： (

ⅲ）求面积的最大值。

解：（ⅰ设椭圆w的方程为，由题意可知。

解得，所以椭圆w的方程为4分。

ⅱ）解法1：因为左准线方程为，所以点坐标为。于是可设直线的方程为．

得。由直线与椭圆w交于、两点，可知。

解得．设点，的坐标分别为，则，，，

因为，所以，.

又因为。所以10分。

解法2：因为左准线方程为，所以点坐标为。

于是可设直线的方程为，点，的坐标分别为，则点的坐标为，，．

由椭圆的第二定义可得。

所以，，三点共线，即10分。

ⅲ)由题意知，当且仅当时“=”成立，所以面积的最大值为．

10、(北京市崇文区2024年高三统一练习一)已知抛物线，点p（1，－1）在抛物线c上，过点p作斜率为k1、k2的两条直线，分别交抛物线c于异于点p的两点a（x1，y1），b（x2，y2），且满足k1+k2=0.

（i）求抛物线c的焦点坐标；

（ii）若点m满足，求点m的轨迹方程。

解：（i）将p（1，－1）代入抛物线c的方程得a=－1，∴抛物线c的方程为，即。

焦点坐标为f（04分。

（ii）设直线pa的方程为，联立方程消去y得。

则。由………7分。

同理直线pb的方程为。

联立方程消去y得。

则。又9分。

设点m的坐标为（x，y），由。

又11分。∴所求m的轨迹方程为：

11、(北京市东城区2024年高三综合练习一）已知定圆圆心为a，动圆m过点b(1,0)且和圆a相切，动圆的圆心m的轨迹记为c.

（i）求曲线c的方程；

（ii）若点为曲线c上一点，求证：直线与曲线c有且只有一个交点。

解：（i）圆a的圆心为，设动圆m的圆心。

由|ab|=2，可知点b在圆a内，从而圆m内切于圆a，故|ma|=r1—r2，即|ma|+|mb|=4，所以，点m的轨迹是以a，b为焦点的椭圆，设椭圆方程为，由。

故曲线c的方程为 ……6分。

（ii）当，消去 ①

由点为曲线c上一点，于是方程①可以化简为解得，综上，直线l与曲线c有且只有一个交点，且交点为。

12、(北京市东城区2024年高三综合练习二)已知双曲线的一条渐近线方程为，两条准线的距离为l.

（1）求双曲线的方程；

圆锥曲线解答题a

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