2024年全国各地数学模拟试卷（新课标）分章精编。
71.记平面内动点到两条相交于原点的直线的距离分别为研究满足下列条件下动点的轨迹方程．
1）已知直线的方程为：，a）若，指出方程所表示曲线的形状；
b）若，求方程所表示的曲线所围成区域的面积；
c）若，研究方程所表示曲线的性质，写出3个结论．
2）若，试用表示常数d及直线的方程，使得动点的轨迹方程恰为椭圆的标准方程（）．
解】（1）（a）
b） 方程所表示的曲线所围成区域为正方形面积为．
c）， 范围：；对称性：关于和原点对称；渐近线为：
2）设直线的方程为：（）则由得 ，
令，即得椭圆的标准方程（）．
72.已知椭圆是抛物线的一条切线。（i）求椭圆的方程；（ⅱ过点的动直线l交椭圆c于a、b两点，试问：
在坐标平面上是否存在一个定点t，使得以ab为直径的圆恒过点t？若存在，求出点t的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（i）由。
因直线相切。
故所求椭圆方程为 （ii当l与x轴平行时，以ab为直径的圆的方程：
当l与x轴平行时，以ab为直径的圆的方程：,由
即两圆相切于点（0，1）
因此，所求的点t如果存在，只能是（0，1）.事实上，点t（0，1）就是所求的点，证明如下。
当直线l垂直于x轴时，以ab为直径的圆过点t（0，1）
若直线l不垂直于x轴，可设直线l：
由。记点、
ta⊥tb，即以ab为直径的圆恒过点t（0，1）,故在坐标平面上存在一个定点t（0，1）满足条件。
73.已知点p （4，4），圆c：与椭圆e：的一个公共点为a（3，1），f1，f2分别是椭圆的左、右焦点，直线与圆c相切。
1）求m的值与椭圆e的方程；
2）设d为直线pf1与圆c 的切点，在椭圆e上是否存在点q ，使△pdq是以pd为底的等腰三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由。
74.已知椭圆的长轴长为，离心率为，分别为其左右焦点．一动圆过点，且与直线相切．
ⅰ) 求椭圆的方程； (求动圆圆心轨迹的方程；
ⅱ) 在曲线上有四个不同的点，满足与共线，与共线，且，求四边形面积的最小值．
解：(ⅰ由已知可得，则所求椭圆方程。
ⅱ)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为，准线方程为，则动圆圆心轨迹方程为。
ⅱ)由题设知直线的斜率均存在且不为零。
设直线的斜率为，，则直线的方程为：
联立消去可得
由抛物线定义可知：
同理可得 又。
当且仅当时取到等号)
所以四边形面积的最小值为。
75.如图，已知椭圆长轴长为4，高心率为过点的直线交椭圆于两点、交轴于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点。
（i）求椭圆方程；
（ⅱ）**：是否为常数？
解：（i）由题意得。
解得所以椭圆方程为。
ⅱ）直线方程为，则的坐标为。
设则，直线方程为令，得的横坐标为。
又得得，代入①得，得， 为常数4
76.设椭圆的上顶点为，椭圆上两点在轴上的射影分别为左焦点和右焦点，直线的斜率为，过点且与垂直的直线与轴交于点，的外接圆为圆．
1)求椭圆的离心率；
2)直线与圆相交于两点，且，求椭圆方程；
3)设点在椭圆c内部，若椭圆c上的点到点n的最远距离不大于，求椭圆c的短轴长的取值范围．
解：（1）由条件可知， 因为，所以得：
2）由（1）可知，，所以，，从而。
半径为a，因为，所以，可得：m到直线距离为。
从而，求出，所以椭圆方程为：；
3）因为点n在椭圆内部，所以b>3
设椭圆上任意一点为，则。
由条件可以整理得：对任意恒成立，所以有：或者。
解之得： 2
77.已知直线：（为常数）过椭圆（）的上顶点和左焦点，直线被圆截得的弦长为．
1）若，求的值；
2）若，求椭圆离心率的取值范围．
解：（1）取弦的中点为m，连结om 由平面几何知识，om=1
得：， 直线过f、b ，∴则。
2）设弦的中点为m，连结om 则。解得
78.已知可行域的外接圆 c 与 x 轴交于点 al 、 a2 ，椭圆 cl 以线段 a1a2为长轴，离心率。
i）求圆 c 及椭圆 cl 的方程；
ⅱ）设椭圆c1的右焦点为 f ，点 p 为圆 c 上异于 a 1、 a2的动点，过原点o作直线 pf 的垂线交直线 x =2于点q ，判断直线 pq 与圆c的位置关系，并给出证明．
解：（1）由题意可知，可行域是以及点为顶点的三角形，，∴为直角三角形，
外接圆c以原点o为圆心，线段a1a2为直径，故其方程为．
2a=4，∴a=2．又，∴，可得．
所求椭圆c1的方程是．
2）直线pq与圆c相切．设，则．
当时，，∴当时，
直线oq的方程为．因此，点q的坐标为．
当时，，；当时候，，∴
综上，当时，，故直线pq始终与圆c相切．
79.若椭圆：和椭圆：满足，则称这两个椭圆相似，称为其相似比。
1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程。
2）设过原点的一条射线分别与（1）中的两个椭圆交于a、b两点（其中点a**段ob上），求的最大值和最小值。
解：（1）设所求的椭圆方程为，则有。
解得。所要求的椭圆方程为
2）①当射线与轴重合时， =
当射线不与坐标轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考察a、b在第一象限的情形。
设其方程为（），设，
由解得 由解得
令则由知。 记，则在上是增函数，∴，由①②知，的最大值为，的最小值为。
80.椭圆c的中心为坐标原点o，焦点在y轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为与y轴交于p点（0，m），与椭圆c交于相异两点a、b，且。
（1）求椭圆方程；
（2）若的取值范围。
解：（1）设，由条件知。
故c的方程为：
2）由 ∴设l与椭圆c交点为。
消去。 整理得。因，∴
容易验证所以（*）成立即所求m的取值范围为。
81.设，，为直角坐标系中的单位向量，，，
1）求动点的轨迹c的方程；
2）过点作直线与曲线交于a、b两点，若，是否存在直线使得为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵，动点到定点、的距离之和为8
曲线c的轨迹方裎为。
2)直线过，若是轴，则a、b是椭圆的顶点。∵
与重合，与为矩形矛盾。∴直线的斜率存在．
设：，由得。
恒成立．∴由韦达定理得。
是平行四边形． 若存在，使它为矩形，则即，即。
，所求直线的方程为。
82.如图，中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率，分别是椭圆的长轴、短轴的端点，原点到直线的距离为。
ⅰ)求椭圆的标准方程；
ⅱ)已知，设点是椭圆上的两个动点，满足，求的取值范围。
解：(ⅰ设椭圆的长半轴长为，短半轴长，半焦距为，由离心率，得。
直线的方程为，原点到直线的距离为，∴
代人②，解得 ∴椭圆的标准方程为
设，则，即
的取值范围是
83.已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为a（0，-1）。若右焦点到直线的距离为3.
1）求椭圆的方程；
2）设椭圆与直线相交于不同的两点m、n.当时，求m的取值范围。
解：（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点f
由题设解得故所求椭圆的方程为。
2）设p为弦mn的中点，由得。
由于直线与椭圆有两个交点， 即①
从而， 又，则，
即 ② 把②代入①得解得。
又由②得解得。 故所求m的取范围是。
84.已知直线l过抛物线x2=2py(p>0)的焦点f，且与抛物线交于a,b两点，q是线段ab的中点，m是抛物线的准线与y轴的交点，0是坐标原点。
1） 若直线l与x轴平行，且直线与抛物线所围区域的面积为6，求p的值。
2） 过a,b两点分别作该抛物线的切线，两切线相交于n点，求证：,3） 若p是不为1的正整数，当，△abn的面积的取值范围为时，求：该抛物线的方程。
1)解：由条件得m（0，-）f（0，）把y=代入中得x=-p或p
所以直线与抛物线所围区域面积s===
又s=6，所以p=3
2）证：设直线ab的方程为y=kx+,a(x1,y1),b(x2,y2)
由得，抛物线方程可化为，，所以，，所以。
切线na的方程为：，切线nb的方程为：，两方程联立得，从而可知n点，q点的横坐标相同，但纵坐标不同，所以，又，，所以n（pk,）,而m（0，-）又，，
3）解：因为==，又，，所以k=2或-2
由于， =从而，又=
而的取值范围是，，，而p>0
所以1≤p≤2,又p是不为1的正整数，所以p=2
故抛物线的方程为x2=4y
85.已知曲线c的方程为，f为焦点。
1）过曲线上c一点（）的切线与y 轴交于a，试**|af|与|pf|之间的关系；
2）若在（1）的条件下p点的横坐标，点n在y轴上，且|pn|等于点p到直线的距离，圆m能覆盖三角形apn，当圆m的面积最小时，求圆m的方程。
86.设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若（其中为坐标原点）．
1）求椭圆的方程；
2）设是椭圆上的任一点，为圆的任意一条直径，求的最大值．
解：（1）由题设知：
由得： 解得，椭圆的方程为
从而将求的最大值转化为求的最大值。
是椭圆上的任一点，设，则有。
即又， 当时，取最大值的最大值为。
87.已知、分别为椭圆：的上、下焦点，其中也是抛物线的焦点，点是与在第二象限的交点，且。
ⅰ)求椭圆的方程。
ⅱ)已知点和圆：,过点的动。
直线与圆相交于不同的两点，**段上取一点。
满足：, 且).
求证：点总在某定直线上。
解： (方法。
一、由知，设，
因在抛物线上，故…①
又，则……②由①②解得，.
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