专题八解析几何问题二：求圆锥曲线离心率或离心率范围。
一、考情分析。
离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围。很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳。
二、经验分享。
离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．
2.要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a，c的齐次式，进而求解。(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征＋≥2c的运用。
三、知识拓展。
1.在求椭圆离心率范围时常用的不等关系：，，p为椭圆上一点）
2.在双曲线中，四、题型分析。
一) 借助平面几何图形中的不等关系。
根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值。
等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率。
的范围。例1】【2017届湖南师大附中高三上学期月考三】已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（ ）
abcd．
答案】a解析】关于直线的对称点为，连接交直线于点，则椭圆的长轴长的最小值为，所以椭圆的离心率的最大值为，故选a.
点评】求解本题的关键是利用对称性求距离的最小值。
小试牛刀】已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点p,使得由点p所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
a． b． c． d．
答案】c(二) 借助题目中给出的不等信息。
根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解。
例2】 已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的取值范围是 .
答案】点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式，然后借助已知条件利用三角函数的图象求解离心率的范围。
小试牛刀】【百校联盟2018届top202018届高三三月联考】．已知平行四边形内接于椭圆，且，斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
a. b. c. d.
答案】a解析】由题意，关于原点对称，设， ，
故选a.(三) 借助函数的值域求解范围。
根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的范围。
例3】已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
a． b． c． d．
答案】a解析】∵椭圆双曲线， ,
由条件有，则，∴,由，有， ,即，而，∴.
点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系，得到函数关系式，进而根据m的范围，借助反比例函数求解离心率的范围。
小试牛刀】【2017届福建连城县二中高三上学期期中】已知二次曲线，则当时，该曲线的离心率的取值范围是（ ）
a． b． c． d．
答案】c解析】由当时，二次曲线为双曲线，双曲线即为，且，则，即有，故选c.
四) 根据椭圆或双曲线自身的性质求范围。
在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆中， ,p是椭圆上任意一点，则等。
例4】【2016届河北省正定中学高三上第五次月考】设为椭圆的左、右焦点，且，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的最小值为（ ）
abcd．
答案】d点评】为椭圆上的一点是本题的关键条件，根据圆锥曲线的共同特征把转化成基本量， ,与的关系式，结合椭圆的范围，即可得到的不等式，从而求出其最小值．
小试牛刀】【2016届黑龙江省大庆实验中学高三12月月考】已知分别为双曲线的左、右焦点，p为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8,则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
abcd．答案】a
解析】本题以双曲线为素材，综合考查双曲线的离心率和函数的最值，难度中等．设，则，．又，当且仅当时，等号成立．所以，所以．故选a．
四、迁移运用。
1．【湖南省郴州市2018届高三第二次教学质量检测】设椭圆()的一个焦点点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
a. b. c. d.
答案】a解析】
记椭圆的左焦点为，则，即，，，即，即，椭圆的离心率的取值范围是，故选a.
2．【广东省珠海一中等六校2018届高三第三次联考】已知点为双曲线的右焦点，直线与交于两点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
a. b. c. d.
答案】d解析】在，，∴故选d．
3．【广东省六校2018届高三下学期第三次联考】已知点为双曲线的右焦点，直线与交于，两点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围是。
a. b. c. d.
答案】d解析】如图，设双曲线的左焦点为，连．由于四边形为矩形，故．
在中，由双曲线的定义可得。
∴．，即双曲线的离心率的取值范围是．选d．
4．【浙江省镇海中学2018届高三上学期期末】已知点p在以为左右焦点的椭圆上，椭圆内一点q在的延长线上，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
a. b. c. d.
答案】c解析】
满足qf1⊥qp，∴点q与点f2重合时，∵sin∠f1pq=，不妨设|pf1|=13，则|pf2|=12．
可得：e=．因此e．
当点q在最下端时，∠f1qf2最大，此时f1q⊥f2q．
可得点q在椭圆的内部，当b=c，e=，因此．
综上可得：．故选c．
5．【福建省宁德市2018届高三上学期期末】已知、分别是椭圆：的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率取值范围是（ ）
a. b. c. d.
答案】d解析】、分别是椭圆：的左、右焦点，若椭圆上存在点，，当点为右顶点时，可取等号，故选d.
6．【2017届湖南长沙一中高三月考五】已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，.这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形。若，记椭圆与双曲线的离心率分别为、,则的取值范围是（ ）
abcd.
答案】c7．【2017届湖南湘中名校教改联合体高三12月联考】过双曲线（,）的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐近线交于，两点，若，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
a． b． c． d．
答案】b解析】由题可知， ,则， ,所以，故选b．
8.已知椭圆e：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为f,短轴的一个端点为m,直线l：
3x－4y＝0交椭圆e于a,b两点．若|af|＋|bf|＝4,点m到直线l的距离不小于，则椭圆e的离心率的取值范围是( )
a. b. c. d.
答案】a解析】如图，设左焦点为f0,连接f0a,f0b,则四边形afbf0为平行四边形．
|af|＋|bf|＝4,∴|af|＋|af0|＝4,∴a＝2.
设m(0,b),则≥,∴1≤b＜2.
离心率e＝＝＝故选a.
9．已知椭圆上有一点a,它关于原点的对称点为b,点f为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围为（ ）
ab． cd．
答案】c解析】把代入椭圆方程解得，取，则；由图可知，所以。
又，所以，即，解得，故c为正确答案．
10．已知是双曲线的左、右两个焦点，以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点m,与双曲线交于点n（点m,n均在第一象限）,当直线与直线on平行时，双曲线离心率取值为，则所在区间为（ ）
a． b． c． d．
答案】a解析】因为，双曲线的渐近线方程为，与圆联立，得，与双曲线方程联立，得交点即，直线与直线平行时，即有，即，即有，即有，令，由于，则故选a．
是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点p,使∠f1pf2＝90°,则椭圆的离心率的取值范围是___
答案】 ≤e<1
解析】 设p(x0,y0)为椭圆上一点，则＋＝1.＝(c－x0,－y0),＝c－x0,－y0),若∠f1pf2＝90°,则·＝x＋y－c2＝0.∴x＋b2(1－)＝c2,∴x＝.
0≤x≤a2,∴0≤≤1.∴b2≤c2,∴a2≤2c2,∴≤e<1.
12.【2016届安徽省六安一中高三上第五次月考】已知p是椭圆和双曲线的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率， ,则的最大值为。
答案】练习：2024年全国1理：10.
已知f为抛物线c：y2=4x的焦点，过f作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与c交于a、b两点，直线l2与c交于d、e两点，则|ab|+|de|的最小值为。
圆锥曲线离心率
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圆锥曲线中的离心率离心率问题
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圆锥曲线离心率问题
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