题型之一：求曲线的方程（或动点的轨迹方程）
注：①坐标系不同，同一曲线的方程也不相同。
建系原则：垂直性（或简单性）+对称性。
1）直接法：直接利用条件建立之间的关系；
例1已知动点p到定点f(1,0)和直线的距离之和等于4，求p的轨迹方程．
答：或）；例2．△abc一边的两个端点是b(0，6)和c(0，-6)，另两边斜率的。
2）待定系数法。
已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。
例3. 线段ab过x轴正半轴上一点m（m，0），端点a、b到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过a、o、b三点作抛物线，则此抛物线方程为答：）；
3）转移代入法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；
例4．双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。
例5.求抛物线y2=2px(p＞0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程．
例6（1）ab是圆o的直径，且|ab|=2a，m为圆上一动点，作mn⊥ab，垂足为n，在om上取点，使，求点的轨迹。（答：）；
4）定义法：就是根据图形的几何性质同时借助曲线定义而得到轨迹方程的方法。
7．平面内到两个定点的距离为8，求到这两个定点距离和为10的动点的轨迹方程。
例8．（1）一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
2) 一动圆与两圆⊙m：和⊙n：都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；
9(1)由动点p向圆作两条切线pa、pb，切点分别为a、b，∠apb=600，则动点p的轨迹方程为答：）；2）点m与点f(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点m的轨迹方程是___答：）；
5）参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。相对而言，这种方法及相应题型较难。
10（1）若点在圆上运动，则点的轨迹方程是___答：）；2）过抛物线的焦点f作直线交抛物线于a、b两点，则弦ab的中点m的轨迹方程是___答：）；
题型之二：定义的理解及应用（包括第一及第二定义）
例1已知定点，在满足下列条件的平面上动点p的轨迹中是椭圆的是
a． b． c． d．（答：c）；
上例可变式为双曲线的定义应用。
2）方程表示的曲线是___答：双曲线的左支）
另外，课本p49第7题及p62第5题。
例2.已知点及抛物线上一动点p（x,y）,则y+|pq|的最小值是___答：2）
例3. 已知点a（3，2），f（2，0），双曲线，p为双曲线上一点。
求的最小值。
例4. （04年全国卷一。文理7）椭圆的两个焦点为f1、f2，过f1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为p，则=（
a． b． c． d．4
a. b. 3 c. d.
例5. （04年辽宁卷。9）已知点、，动点p满足。 当点p的纵坐标是时，点p到坐标原点的距离是（ ）
a． b． c． d．2
例6. （辽宁卷）已知双曲线的中心在原点，离心率为。若它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是 a．2+ b． c． d．21
例7 (04年湖北卷。理6）已知椭圆的左、右焦点分别为，点p在椭圆上，若p、f1、f2是一个直角三角形的三个项点，则点p到轴的距离为（ ）
a. b. 3 c. d.
例8.（山东卷）设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于p、两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率
例9.（04年福建卷。文理4）已知f1、f2是椭圆的两个焦点，过f1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于a、b两点，若△abf2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
a. b. c. d.
例10. 椭圆内有一点，f为右焦点，在椭圆上有一点m，使之值最小，则点m的坐标为___答：）；
题型之三：圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
1）两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于；
2）两个焦点的坐标分别是、，并且椭圆经过点；
3）焦点在轴上，，；
4）焦点在轴上，，且过点；
5）焦距为，；
6）椭圆经过两点，。
例2．（1）（06山东）已知椭圆中心在原点，一个焦点为f（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是。
2）（06天津理，8）椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点的准线方程为，则这个椭圆的方程是（ ）
点评：求椭圆方程的题目属于中低档题目，掌握好基础知识就可以。
例3．（1）已知焦点，双曲线上的一点到的距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程；
2）求与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程；
3）已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程。
4）已知双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程。
解析：（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，，∴
所以所求双曲线的方程为；
2）椭圆的焦点为，可以设双曲线的方程为，则。
又∵过点，∴。
综上得，，所以。
点评：双曲线的定义；方程确定焦点的方法；基本量之间的关系。
3）因为双曲线的焦点在轴上，所以设所求双曲线的标准方程为①；
点在双曲线上，∴点的坐标适合方程①。
将分别代入方程①中，得方程组：
将和看着整体，解得，即双曲线的标准方程为。
点评：本题只要解得即可得到双曲线的方程，没有必要求出的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。
例4．(06上海卷)已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为，且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是。
解析：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为，则焦点在x轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为，即，解得，则双曲线的标准方程是；
点评：本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。充分挖掘双曲线几何性质，数形结合，更为直观简捷。
例5．（1）已知抛物线的焦点到准线的距离是2，求它的标准方程；
2）已知抛物线的焦点坐标是f(0， 2)，求它的标准方程。
解析：（1）y=4x，y=4x，x=4y，x=4y；
方程是x=8y。
点评：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程。当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解。
题型之四：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
1）椭圆：由，分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
例1. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：）
例2. m>0且n>0是方程mx2+ny2=1表示椭圆的什么条件)
例 x2+by2=c（a,b,c均不为零）表示椭圆的充要条件为。
2）双曲线：由，项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
可将上述椭圆相关习题改编成双曲线。
另外，课本p55练习第3题。
4.椭圆与双曲线有相同的焦点，则的取值范围是。
3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点f，f的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。
题型之五：圆锥曲线的几何性质。
1）双曲线的渐近线方程为；
2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，≠0）。如与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为___答：）
3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；
4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为；
5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；
6）若抛物线的焦点弦为ab，，则①；②
7）若oa、ob是过抛物线顶点o的两条互相垂直的弦，则直线ab恒经过定点。
例1若椭圆的离心率，则的值是__（答：3或）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：）
例2.双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于___答：或）；（2）双曲线的离心率为，则答：
4或）；（3）设双曲线（a>0,b>0）中，离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是___答：）；
例3.设，则抛物线的焦点坐标为___答：）；
4.（04年全国卷二。理15）设中心在原点的椭圆与双曲线=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 .
5. （04年天津卷。文5理4）设p是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、f2分别是双曲线的左、右焦点，若，则（ ）a. 1或5 b. 6c. 7 d. 9
6. (全国卷iii)设椭圆的两个焦点分别为f1、、f2，过f2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点p，若△f1pf2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
abc） （d）
例7．（1）（06山东理，7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）
圆锥曲线题型
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圆锥曲线题型
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