圆锥曲线常见题型归纳

一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意：

1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系；

2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在轴和轴的两种（或四种）情况；

3）注意，，，的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中，双曲线中，离心率，准线方程；

二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：

中垂线、角平分线的性质，勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理；

三、直线与圆锥曲线的关系题

1）写直线方程时，先考虑斜率存在，把直线方程设为的形式，但随后应对斜率不存在的情况作出相应说明，因为不存在的情况很特殊，一般是验证前面的结论此时是否成立；

2）联立直线方程和圆锥曲线方程，消去或消去，得到方程 ①

或 ②，此方程是后一切计算的基础，应确保不出错。

3）当方程①或②的二次项系数时，方程是一次方程，只有唯一解，不能用判别式，这种情况是直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行；（过抛物线外一点作与抛物线只有一个公共点的直线有三条，过双曲线含中心的区域内一点（不在渐近线上）作与双曲线只有一个公共点的直线有四条；）

4）当方程①或②的二次项系数时，判别式△、△与之相对应的是，直线与圆锥曲线分别相离、相切、相交。如直线与圆锥曲线有公共点，应用△来求斜率的范围；

5）直线与圆锥曲线相交成弦（前提，△）记为，其中，，的坐标可由方程①或②求得，一般是由方程①求出，再代入直线方程求，或由方程②求出，再代入直线方程求。

6）涉及弦长问题，可用韦达定理，由方程 ①求出，，在直线上，∴，

请注意，如果联立直线和圆锥曲线方程，消去，得到 ②，继而用韦达定理，求出， ,

7）涉及弦中点问题，可用韦达定理，由方程 ①求出，设弦的中点为，则，点也在直线上，∴。如果问题仅仅与弦中点和弦的斜率有关，而不涉及弦长，则可把弦的坐标，直接代入曲线方程，然后相减，因式分解，所得的式子中只有、、、这些都与弦中点坐标和弦的斜率有关。

8）弦满足有关的向量的条件，如（为原点），则，，

又如过椭圆的右焦点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。

四、关于圆锥曲线的最值。

1）圆锥曲线上的动点到一个定点的距离的最值。设动点的坐标，用两点间的距离公式表示距离，利用点的坐标满足圆锥曲线方程，消去（或消去），把表示成（或）的二次函数，因为（或）有一个取值范围（闭区间或半开半闭区间），所以问题转化为：求二次函数在闭区间上的最值。

有时须针对二次函数的对称轴与闭区间的关系进行分类讨论。

2）圆锥曲线上的动点到一条定直线的距离的最值。作圆锥曲线与定直线平行的切线，切点即为所求的点，切线与定直线的距离即为所求最值。

五、求动点的轨迹方程。

1）待定系数法。适用于已知曲线的类型的情况，2）五步法（求曲线的基本方法）

3）定义法（只求轨迹，不求方程，用几何性质及圆锥曲线定义）

4）相关点法（5）交轨法（6）参数方程法。

47、熟悉定比分点的传统定义、向量定义、坐标公式、在空间坐标系中的应用；

48、不重合的两条直线与，的法向量为：，方向向量为，且；