圆锥曲线。
圆锥曲线一章是高考和教学中的重点内容，蕴涵着多种数学思想、方法，教学中应遵循重基础、抓共性、讲通法、善变化的原则，使基础知识、基本技能、基本方法得到巩固，提高学生知识和方法的运用能力。
一、基本思想和基本方法。
基本思想：运动与联系、特殊与一般、函数与方程、转化与类比。
基本方法：代数方法、几何方法、向量方法、三角代换。
基本问题：①由性质求轨迹方程 ②由方程研究性质。
二、常见的几种题型。
求轨迹方程。
弦长公式极其应用。
垂直半径的问题。
弦的中点与斜率的关系。
圆锥曲线上关于直线的对称点问题。
圆锥曲线的切线问题。
圆锥曲线中的不等式问题。
三、几组公式：
三类弦长（e表示离心率，p表示焦准距，α弦所在直线的倾斜角）：
1．焦点弦的弦长。
椭圆： |ab|=；
双曲线：|ab|=；当＞0时，ab是内点弦，当。
0时，ab是外点弦．
抛物线：|ab|=．
说明：利用圆锥曲线的统一定义证明．
2．中心弦的弦长：
椭圆： |ab|=；双曲线：|ab|=．
说明：可结合圆锥曲线的参数方程证明．
3．顶点弦的弦长（这里的顶点在长轴、实轴上）：
椭圆： |ab|=|cosα|；
双曲线： |ab|=|cosα|；
抛物线： |ab|=|cosα|．
说明：可利用直线、圆锥曲线的参数方程证明．
与圆锥曲线离心率相关的几个角（以椭圆为例）：
命题1：设p（x，y）是椭圆=1（a＞b＞0）上一点，f1、f2是椭圆的两个焦点，∠f1pf2=α，则y=±b时，＝2arctg，简证：由△pf1f2的面积为s=b2 tg =c|y|，所以tg =．或由均值定理）．
2．命题2.设p（x，y）是椭圆=1（a＞b＞0）上一点。∠a1pa2=α，b1ｐb2=β，则当y=±b时，；当x=±a时，．
简证：设pa1、pa2的斜率分别为k1、k2，则k1=，k2=；
可得：k1k2 ＝－由到角公式和均值定理既可证明．
命题3：设p、q是椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点弦，倾斜角为α，o是原点，∠poq=β，则当α=900时，．
命题4：设p，q是椭圆（a＞b＞0）的左焦点弦，倾斜角。
为，o是原点，a1，a2是椭圆长轴的两个顶点。设∠pa2q=，∠pa1q=，则当=900时，；当=900时，．
说明：命题在双曲线、抛物线形式略有变化，研究方法相同．
圆锥曲线中的三角形：
焦点三角形：
面积：s=c|y|/2=b2tg=b
离心率：e=
与焦点弦有关的三角形：
ss= s=
与准线有关的三角形。
ef1平分∠qep，s=； fq⊥oq，s=abp/c．
四、例题讲解。
轨迹方程的求法。
例题⒈（坐标法）点a是直线l外一点，点a到直线l的距离为p，mn为l上的定长线段，且|mn|=2p，当|mn|在直线l上滑动时，求△amn外心c的轨迹e。
当圆心c在e上什么位置时，|am|+|an|=2p？
说明：一般步骤：
1 选择适当的直角坐标系．②设所求点为p（x，y），并写出相关点的坐标．
3 出一个含已知点和所求点的等式．④用坐标表示这个等式，并化简整理．
5 去“坏”点．
例题⒉ （判断轨迹法）已知⊙o的方程为x2+y2=4；定点a（4，o）；求过定点a且与⊙o相切的动圆圆心p的轨迹方程．
答案：（x-2）2-y2/3=1
说明：一般步骤：
1 根据条件判断是否为学过的点的轨迹方程．②判断轨迹的位置．
利用已知的方程形式，设出待定系数求解．④整理检验．
例题⒊**移法）f1、f2是椭圆x2/2+y2=1的两个焦点，p是抛物线y=x2上的动点，求三角形f1pf2的重心轨迹方程．
答案：y=3x2（消参法，交轨法）
说明：一般步骤。
设所求点为p（x，y），相关点为q（x0，y0）。②建立p、q坐标的关系式，解出x0，y0 ；③代入f（x，y）=0。④整理检验。
例题⒋已知三点a（-4，0）、b（4，0）、f（8，0），直线l的方程为x=2，过f作互相垂直的两条直线，分别交l于m、n点，直线am、bn交于p点，求p点的轨迹方程．答案：（x2/16-y2/48=1）
说明：一般步骤：
若所求动点p（x，y）的坐标关系不易找到，也没有相关点可以利用，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示，然后再消去参数，建立普通方程．
参数的选择丰富多彩，常用的有变角、变斜率、有向线段数量等等．
直线与圆锥曲线：
例题⒈ （弦长公式、垂直应用）
直线l：y=（x-c）交双曲线c：x2-y2/3=1于a、b点，oa⊥ob，求|ab|．
答案：4 已知抛物线y2=2x，直线l在y轴上的截距为2，且与抛物线交于p、q两点，以|pq|为直径的圆过原点，求该直线的方程。
答案：y=-x+2
例题⒉ （弦的中点与斜率的关系）
已知椭圆与直线x+y=1交于a、b两点，|ab|=2，ab的中点m与椭圆中心连线的斜率为/2，求椭圆的方程。
答案：（ax2+by2=1；x2+y2/=3）
双曲线c：x2/4-y2/2=1。①过m（1，1）的直线，交双曲线于a、b两点，求直线ab的方程。
②是否存在直线l，使n（1，1/2）为l被双曲线所截弦的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由。
答案：x-2y+1=0；不存在，因为直线与双曲线无公共点。
例题⒊ (圆锥曲线中的对称问题)
若抛物线y=ax2-1（a＞0）上存在关于直线x+y=0对称的两个点，求a的取值范围。
答案：a＞3/4
提示：由交点弦的中点在x+y=0上及△＞0求出；或由弦的中点在内部求出）
已知椭圆方程为c：x2/4+y2/3=1。试确定m的范围，使得椭圆c上存在着不同的两个点，关于直线l：y=4x+m对称。
答案：m∈（-2/13，2/13）
圆锥曲线的切线问题。
例⒈（江苏理本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，1）若，求的值；
2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；
3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。
解：（1）设过c点的直线为，所以，即，设a， =因为，所以。
即， 所以，即所以。
2）设过q的切线为，，所以，即，它与的交点为m，又，所以q，因为，所以，所以m,所以点m和点q重合，也就是qa为此抛物线的切线。
3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知q，因为pq轴，所以。
因为，所以p为ab的中点。
例⒉（安徽文本小题满分14分）设f是抛物线g:x2=4y的焦点。
ⅰ）过点p（0，-4）作抛物线g的切线，求切线方程：
ⅱ）设a、b为势物线g上异于原点的两点，且满足，延长af、bf分别交抛物线g于点c,d，求四边形abcd面积的最小值。
解：（）设切点．由，知抛物线在点处的切线斜率为，故所求切线方程为．
即．因为点在切线上．
所以，，．所求切线方程为．
）设，．由题意知，直线的斜率存在，由对称性，不妨设．
因直线过焦点，所以直线的方程为．
点的坐标满足方程组。
得，由根与系数的关系知。
因为，所以的斜率为，从而的方程为．
同理可求得．
当时，等号成立．所以，四边形面积的最小值为．
例3（06全国卷i）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线c，动点p在c上，c在点p处的切线与轴的交点分别为a、b，且向量。求：
ⅰ）点m的轨迹方程； （的最小值。
解： 椭圆方程可写为： +1 式中a>b>0 , 且得a2=4,b2=1,所以曲线c的方程为：
x2+ =1 (x>0,y>0). y=2 (0设p(x0,y0),因p在c上，有0y=－ x－x0)+y0 . 设a(x,0)和b(0,y),由切线方程得 x= ,y= .
由= +得m的坐标为(x,y), 由x0,y0满足c的方程，得点m的轨迹方程为：
=1 (x>1,y>2)
ⅱ)|2= x2+y2, y2= =4+ ,
| |2= x2－1++5≥4+5=9.且当x2－1= ,即x=>1时，上式取等号。
故||的最小值为3.
五、07高考题再现。
（北京文理本小题共14分）如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．
）求边所在直线的方程；
）求矩形外接圆的方程；
）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．
解：（）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．
又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为．．
）由解得点的坐标为，因为矩形两条对角线的交点为．
所以为矩形外接圆的圆心．
又．从而矩形外接圆的方程为．
）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以，即．
故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．
因为实半轴长，半焦距．
所以虚半轴长．
从而动圆的圆心的轨迹方程为．
（福建理本小题满分12分）如图，已知点，直线，为平面上的动点，过作直线。
的垂线，垂足为点，且．
ⅰ）求动点的轨迹的方程；
ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，，求的值；
解法一：（ⅰ设点，则，由得：
化简得．ⅱ）设直线的方程为：．
设，，又，联立方程组，消去得：，故。
由，得：，整理得：，解法二：（ⅰ由得：，．
所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．
ⅱ）由已知，，得．
则：．…过点分别作准线的垂线，垂足分别为，则有：．…
由①②得：，即．
（江西理本小题满分12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．
i）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
ii）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：由条件知，，设，．
解法一：（i）设，则则，由得。
即。于是的中点坐标为．
当不与轴垂直时，，即．
又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得。
即．将代入上式，化简得．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
圆锥曲线方程
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