简化圆锥曲线运算的几种数学思想。
一）极端思想。
通过考察圆锥曲线问题的极端元素，灵活地借助极限状态解题，则可以避开抽象及复杂运算，优化解题过程，降低解题难度。这是简化运算量的一条重要途径。
例1] 求已知离心率，过点（1，0）且与直线：相切于点（），长轴平行于轴的椭圆方程。
解：把点（）看作离心率的椭圆（“点椭圆”），则与直线：相切于该点的椭圆系即为过直线与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程为：
又由于所求的椭圆过点（1，0），代入上式得，因此，所求椭圆方程为：
二）补集思想。
有些圆锥曲线问题，从正面处理较难，常需分类讨论，运算量大，且讨论不全又容易出错，如用补集思想考虑其对立面，可以达到化繁为简的目的。
例2] 为何值时，直线：不能垂直平分抛物线的某弦。
解：设，直线垂直平分抛物线的某弦。若直线垂直平分抛物线的弦ab，且a，b，则，上述两式相减得：
即。又设m是弦ab的中点，且，则。
因为点m在直线上，所以。
由于m在抛物线的内部，所以，即。
故原命题中的取值范围是或。
三）整体思想。
对有些圆锥曲线问题，注意其整体结构特点，设法将问题整体变形转化，以达到避免一些不必要的运算，降低解题难度。
例3] 从椭圆外一点p（2，4）作椭圆的切线，求两切线的夹角。
解：由椭圆的切线方程知两切线的方程为：
又切线过点p（2，4），所以，整理得，所以，所以。
所以两切线的夹角。
四）方程思想。
把圆锥曲线问题中的解析式看作一个方程，通过解方程的手段或对方程的研究，使问题得到解决，这种思想方法在解析几何试题中经常使用。
例4] 已知双曲线c：，设该双曲线上支的顶点为a，且上支与直线相交于p点，一条以a为焦点，m（）为顶点，开口向下的抛物线通过点p，设pm的斜率为，且，求实数的取值范围。
解：由双曲线方程知a（0，1），则抛物线方程为，由双曲线与直线相交，解得点p的坐标为，又因为点p在抛物线上，所以。
而mp的斜率为，所以。
将代入①，得，即②
根据题意，方程②在区间上有实根。
令，其对称轴方程为。
所以所以实数的取值范围为。
五）函数思想。
对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。
例5] 直线：和双曲线的左支交于a、b两点，直线过p（）和ab线段的中点m，求在轴上的截距的取值范围。
解：由消去得，由题意，有：
设m（），则。
由p（）、m（）、q（）三点共线，可求得。
设，则在上为减函数。
所以，且。所以所以或。
六）参数思想。
处理圆锥曲线问题，可以通过引入参变量替换，使许多相关或不相关的量统一在参变量下，其妙处在于减少未知量的个数或转化原命题的结构，以达到简化解题过程的目的。
例6] 当为何实数时，椭圆与曲线c：有公共点？
解：椭圆方程变形为：
设，即代入曲线c得：
即（1）椭圆与曲线c有交点，等价于方程（1）有解，即等价于函数的值域。
所以。因为，所以的取值范围是。
七）转化思想。
数学问题的求解过程，实际上就是问题的转化过程。它主要体现在条件由“隐”转化为“显”，结论由“暗”转化为“明”，即从陌生向熟悉、复杂向简单、间接向直接的过程。
例7] 设圆满足：① 截轴所得弦长为2；② 被轴分成两段圆弧，其弧长的比为，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线：的距离最小的圆的方程。
解：设圆的圆心为p（），半径为，由①知；由②知，圆p截轴所得劣弧对应的圆心角为，即圆p截轴所得的弦长为，故有，消去得圆心的轨迹为：
如何求圆心p（）到直线：的距离的最小值，这样转化为从不同角度求条件最值问题。
转化1：变量替换求最值。
设，则有，解得，，所以有。
当且仅当，即时，达到最小值。此时可求得或。
由于，故。于是所求圆的方程是：
或。转化2：三角代换求最值。
令，则，所以。
由，得。当达到最小值时，=1，从而，并由此解得或。
即或，以下同解法1
转化3：判别式法求最值。
由得，即①将代入①式，整理得 ②
把它看作的一元二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即。
得，所以。将代入②，得。
解得。从而，由，知与同号。
于是，所求圆的方程为：或。
模拟题】（答题时间：60分钟）
1. 已知椭圆，能否在此椭圆位于轴左侧的部分上找到一点m，使它到左准线的距离为它到两焦点、距离的等比中项？
2. 求证：椭圆的弦中点与椭圆中心连线的斜率（两斜率均存在时）与此弦的斜率之积为。
3. 一椭圆长短轴平行于坐标轴，与直线相切于点p（4，3），它还经过点q（），r（），求椭圆方程。
4. 两个不同的点p、q在曲线上移动，不管如何选择其位置，它们总不能关于直线对称，求的范围。
5. 过抛物线的焦点f的直线与该抛物线交于a、b两点，若ab的中点为m，直线的斜率为。
1）试用表示点m的坐标；
2）若直线的斜率，且点m到直线：的距离为，试确定实数的取值范围。
6. 已知椭圆（），a、b是椭圆上两点，线段ab的垂直平分线与轴交于点p（），求证：.
试题答案】1. 解：由椭圆方程可知，并求得，离心率，准线。
设椭圆上轴左侧部分存在点m（）（满足 ①
为点m到左准线的距离则由椭圆第二定义，得。
因而由椭圆的焦半径公式知
又将以上各式代入①中得：
整理得：，所以或，这与相矛盾，故不存在满足条件的点m
2. 证明：设弦两端点为a（），b（），中点为p，则。由。即。
3. 解：视点p（4，3）为退化椭圆，其方程为（）
由此所求椭圆长、短轴与坐标轴平行且与直线相切于点p的椭圆方程可设为：
将q、r点坐标代入（1）式得：，代入椭圆方程（1）
得即所求椭圆方程为。
解析：从不能的角度考虑，需分别讨论各种情况，比较麻烦，用补集思想从问题的反面考虑就可以达到避繁就简的目的。
解：设p、q关于直线对称。
若，显然曲线上没有关于直线对称的点。
当时，设抛物线上的两点（）、b（）关于直线对称，则。
消去得。由，得。
恒成立 ∴ 即 ∴
故当时满足题设条件。
5. 解：（1）设直线方程，代入，得，设a（），b（），则。
2）∵ m到的距离 ∴ 从而或令，则，这时。
或 ∴ 或因此的取值范围是（）
6. 证明：设a（），b（），由可得：
ab的垂直平分线与轴相交，故ab与轴不平行，即。
所以有： ∴即故。
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