高二数学圆锥曲线。
例题研究。例1 根据下列条件，求双曲线方程。
1） 与双曲线有共同渐近线，且过点（-3，）；
2） 与双曲线有公共焦点，且过点（，2）。
例2 设f1、f2为椭圆的两个焦点，p为椭圆上一点，已知p、f1、f2是一个直角三角形的三个顶点，且|pf1|>|pf2|，求的值。
解题思路分析：
当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。
法一：当∠pf2f1=900时，由得：，
当∠f1pf2=900时，同理求得|pf1|=4，|pf2|=2
法二：当∠pf2f1=900，
p（）又f2（，0）
|pf2|=
|pf1|=2a-|pf2|=
当∠f1pf2=900，由得：
p（）。下略。
例3、设点p到m（-1，0），n（1，0）的距离之差为2m，到x轴、y轴的距离之比为2，求m取值范围。
分析：根据题意，从点p的轨迹着手。
||pm|-|pn||=2m
点p轨迹为双曲线，方程为（|m|<1） ①
又y=±2x（x≠0） ②
②联立得：
将此式看成是关于x的二次函数式，下求该二次函数值域，从而得到m 的取值范围。
根据双曲线有界性：|x|>m，x2>m2
又0∴ 1-5m2>0
且m≠0例4、已知x2+y2=1，双曲线(x-1)2-y2=1，直线同时满足下列两个条件：①与双曲线交于不同两点；②与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线方程。
分析：选择适当的直线方程形式，把条件“ 是圆的切线”“切点m是弦ab中点”翻译为关于参数的方程组。
法一：当斜率不存在时，x=-1满足；
当斜率存在时，设 ：y=kx+b
与⊙o相切，设切点为m，则|om|=1
b2=k2+1 ①
由得：(1-k2)x2-2(1+kb)x-b2=0
当k≠±1且△>0时，设a（x1，y1），b（x2，y2），则中点m（x0，y0）， y0=kx0+b=
m在⊙o上。
x02+y02=1
(1+kb)2+(k+b)2=(1-k2)2 ②
由①②得： 或。
：或。法二：设m（x0，y0），则切线ab方程x0x+y0y=1
当y0=0时，x0=±1，显然只有x=-1满足；
当y0≠0时，
代入(x-1)2-y2=1得：(y02-x02)x2+2(x0-y0)2x-1=0
y02+x02=1
可进一步化简方程为：(1-2x02)x2+2(x02+x0-1)x-1=0
由中点坐标公式及韦达定理得：∴
即2x03-x02-2x0+1=0
解之得：x0=±1(舍)，x0=
y0=。下略。
例5、a、b是抛物线y2=2px（p>0）上的两点，且oa⊥ob，1） 求a、b两点的横坐标之积和纵坐标之积；
2） 求证：直线ab过定点；
3） 求弦ab中点p的轨迹方程；
4） 求△aob面积的最小值；
5） o在ab上的射影m轨迹方程。
分析：设a（x1,y1），b（x2,y2），中点p（x0,y0）
oa⊥ob
koakob=-1
x1x2+y1y2=0
y12=2px1，y22=2px2
y1≠0，y2≠0
y1y2=-4p2
x1x2=4p2
2）∵ y12=2px1，y22=2px2
（y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2)
直线ab：
ab过定点（2p，0），设m（2p，0）
3）设oa∶y=kx，代入y2=2px得：x=0，x=
a（）同理，以代k得b（2pk2，-2pk）
即y02=px0-2p2
中点m轨迹方程y2=px-2p2
当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立。
评注：充分利用（1）的结论。
5）法一：设h（x3,y3），则。
ab： 即代入y2=2p得。
由（1）知，y1y2=-4p2
整理得：x32+y32-2px3=0
点h轨迹方程为x2+y2-4x=0（去掉（0，0））
法二：∵ ohm=900，又由（2）知om为定线段。
h在以om为直径的圆上。
点h轨迹方程为(x-p)2+y2=p2，去掉（0，0）
例6、设双曲线上两点a、b，ab中点m（1，2）
1） 求直线ab方程；
（2）如果线段ab的垂直平分线与双曲线交于c、d两点，那么a、b、c、d是否共圆，为什么？
分析：1） 法一：显然ab斜率存在。
设ab：y-2=k(x-1)
由得：(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0
当△>0时，设a（x1,y1），b（x2,y2）
则。∴ k=1，满足△>0
∴ 直线ab：y=x+1
法二：设a（x1,y1），b（x2,y2）
则。两式相减得：(x1-x2)(x1+x2)= y1-y2)(y1+y2)
∵ x1≠x2
∴ ab：y=x+1
代入得：△>0
评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件△>0是否成立。
（2）此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件。
本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心。
设a、b、c、d共圆于⊙om，因ab为弦，故m在ab垂直平分线即cd上；又cd为弦，故圆心m为cd中点。因此只需证cd中点m满足|ma|=|mb|=|mc|=|md|
由得：a（-1，0），b（3，4）
又cd方程：y=-x+3
由得：x2+6x-11=0
设c（x3,y3），d（x4,y4），cd中点m（x0,y0）
则。 m（-3，6）
|mc|=|md|=|cd|=
又|ma|=|mb|=
|ma|=|mb|=|mc|=|md|
a、b、c、d在以cd中点，m（-3，6）为圆心，为半径的圆上。
评注：充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视。
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