1．曲线方程。
1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：
这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化”
2）求曲线方程的常见方法：
直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。
转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。
几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。
参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。
2．圆锥曲线综合问题。
1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题。
通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。
解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。
圆锥曲线的弦长求法：
设圆锥曲线c∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于a(x1，y1)、b(x2，y2)两点，则弦长|ab|为：
若弦ab过圆锥曲线的焦点f，则可用焦半径求弦长，|ab|=|af|+|bf|．
在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围。
2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题。
它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。
题型1：求轨迹方程。
例1．（1）一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
2）双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。
解析：（1）（法一）设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，将圆方程分别配方得：，当与相切时，有。
当与相切时，有 ②
将①②两式的两边分别相加，得，即。
由以上方程知，动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为、，长轴长等于的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，，∴圆心轨迹方程为。
2）如图，设点坐标各为，∴在已知双曲线方程中，∴
已知双曲线两焦点为，存在，∴
由三角形重心坐标公式有，即。，∴
已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有。
即所求重心的轨迹方程为：。
点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。
题型2：圆锥曲线中最值和范围问题。
例3．（1）设ab是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为，则△f1ab的面积最大为（ ）
abcd.
解析：（1）如图，由椭圆对称性知道o为ab的中点，则△f1ob的面积为△f1ab面积的一半。又，△f1ob边of1上的高为，而的最大值是b，所以△f1ob的面积最大值为。
所以△f1ab的面积最大值为cb。
点评：抓住△f1ab中为定值，以及椭圆是中心对称图形。
2）已知a（3，2）、b（－4，0），p是椭圆上一点，则|pa|＋|pb|的最大值为（ ）
a. 10bcd.
解析：易知a（3，2）在椭圆内，b（－4，0）是椭圆的左焦点（如图），则右焦点为。
f（4，0）。连pb，pf。由椭圆的定义知：， 所以。
由平面几何知识，，即，而，所以。
3）（06上海，21）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点。
求该椭圆的标准方程；
若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。
由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1，又椭圆的焦点在x轴上， ∴椭圆的标准方程为。②设线段pa的中点为m(x,y) ,点p的坐标是(x0,y0)，由，点p在椭圆上，得，∴线段pa中点m的轨迹方程是。
当直线bc垂直于x轴时，bc=2,因此△abc的面积s△abc=1。
当直线bc不垂直于x轴时，说该直线方程为y=kx,代入，解得b(,)c(－,则，又点a到直线bc的距离d=，∴abc的面积s△abc=。
于是s△abc=。由≥－1,得s△abc≤,其中，当k=－时，等号成立。
s△abc的最大值是。
4）（06山东 ，21）已知椭圆的中心在坐标原点o，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l。
ⅰ)求椭圆的方程；
ⅱ)直线过点p(0,2)且与椭圆相交于a、b两点，当δaob面积取得最大值时，求直线l的方程。
解：设椭圆方程为。
ⅰ）由已知得∴所求椭圆方程为。
ⅱ）解法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为。
由，消去y得关于x的方程：，由直线与椭圆相交于a、b两点，，解得。
又由韦达定理得，原点到直线的距离。.
解法1：对两边平方整理得：（*整理得：。
又，，从而的最大值为，此时代入方程（*）得 ，。所以，所求直线方程为：。
解法2：令，则。
当且仅当即时，，此时。所以，所求直线方程为。
解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零。
设直线l的方程为，则直线l与x轴的交点，由解法一知且，解法1： =
下同解法一。
解法2： 题型三：对称问题与角度问题。
例6．（1）（06北京文，19）椭圆c:的两个焦点为f1,f2,点p在椭圆c上，且。
（ⅰ）求椭圆c的方程；
ⅱ）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心，交椭圆c于两点，且a、b关于点m对称，求直线l的方程。
1）解法一：
ⅰ)因为点p在椭圆c上，所以，a=3.
在rt△pf1f2中，故椭圆的半焦距c=，从而b2=a2－c2=4，所以椭圆c的方程为＝1。
ⅱ)设a，b的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）。
已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心m的坐标为（－2，1）.从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆c的方程得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.因为a，b关于点m对称。
所以解得，所以直线l的方程为即8x-9y+25=0.
(经检验，所求直线方程符合题意)
解法二：ⅰ)同解法一。
ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心m的坐标为（－2，1）.
设a，b的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且①②
由①－②得。
因为a、b关于点m对称，所以x1+ x2=－4，y1+ y2=2。
代入③得＝，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0。
经检验，所求直线方程符合题意。)
2.（06浙江理，19）如图，椭圆＝1（a＞b＞0）与过点a（2，0）b(0,1)的直线。
有且只有一个公共点t，且椭圆的离心率e=.
ⅰ)求椭圆方程；
ⅱ)设f、f分别为椭圆的左、右焦点，m为线段af的中点，求证：∠atm=∠aft。
1）（）过点、的直线方程为因为由题意得有惟一解，即有惟一解，所以 （）故。
又因为即所以从而得故所求的椭圆方程为。
）由（）得故从而由，解得所以因为又。
得因此。题型4：知识交汇题。
例7．（06辽宁，20）已知点，是抛物线上的两个动点，是坐标原点，向量，满足。设圆的方程为。
) 证明线段是圆的直径；
)当圆c的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求p的值。
解析：()证明1:
整理得： 设m(x,y)是以线段ab为直径的圆上的任意一点，则即。
整理得： 故线段是圆的直径。
证明2: 整理得： …1)设(x,y)是以线段ab为直径的圆上则。
即去分母得：
点满足上方程，展开并将(1)代入得：
故线段是圆的直径。
证明3: 整理得： …1) 以线段ab为直径的圆的方程为。
展开并将(1)代入得：
故线段是圆的直径。
)解法1:设圆c的圆心为c(x,y),则。
又因。所以圆心的轨迹方程为设圆心c到直线x-2y=0的距离为d,则。
当y=p时，d有最小值，由题设得。
解法2: 设圆c的圆心为c(x,y),则。
又因。所以圆心的轨迹方程为设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为，则。
因为x-2y+2=0与无公共点，所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时，该点到直线x-2y=0的距离最小值为。
将(2)代入(3)得。
解法3: 设圆c的圆心为c(x,y),则圆心c到直线x-2y=0的距离为d,则。
又因。当时，d有最小值，由题设得。
点评：本小题考查了平面向量的基本运算，圆与抛物线的方程。点到直线的距离公式等基础知识，以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。
例8．（06重庆文，22）如图，对每个正整数，是抛物线上的点，过焦点的直线角抛物线于另一点。
ⅰ）试证：；
ⅱ）取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点。
圆锥曲线 2
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