圆锥曲线复习

【基础概念】

椭圆、双曲线、抛物线。

1．定义。2.标准方程。

3.离心率。

4.焦半径。

5.弦长公式： (k为弦ab所在直线的斜率)

常用方法】1、定义法：很多问题用定**决直接简明，注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。

2、韦达定理法：解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤：

第一步：讨论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为y=kx+b（或斜率不为零时，设x=my+a）；

第二步：设直线与圆锥曲线的两个交点为a(x1,y1)b(x2,y2);

第三步：联立方程组，消去y 得关于x的一元二次方程；

第四步：由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件，

第五步：把所要解决的问题转化为x1+x2 、x1x2 ，然后代入、化简。

3、点差法：设弦的两个端点a(x1,y1),b(x2,y2),弦ab中点为m(x0,y0)，将点a、b坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系：

（1）与直线相交于a、b，设弦ab中点为m(x0,y0)，则有。

（2）与直线l相交于a、b，设弦ab中点为m(x0,y0)则有。

3）y2=2px（p>0）与直线l相交于a、b设弦ab中点为m(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.

4、数形结合法：解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。

如“2x+y”，令2x+y=b，则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如“x2+y2”,令，则d表示点p（x，y）到原点的距离；又如“”，令=k，则k表示点p（x、y）与点a（-2，3）这两点连线的斜率……

5、参数法：（1）点参数。

利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如x轴上一动点p，常设p（t，0）；直线x-2y+1=0上一动点p。除设p（x1,y1）外，也可直接设p（2y,-1,y1）

2）斜率为参数。

当直线过某一定点p(x0,y0)时，常设此直线为y-y0=k(x-x0)，即以k为参数，再按命题要求依次列式求解等。

3）角参数。

当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。

6、代入法：这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。

典型例题一】

例1、(1)抛物线c:y2=4x上一点p到点a(3,4)与到准线的距离和最小，则点 p的坐标为。

2)抛物线c: y2=4x上一点q到点b(4,1)与到焦点f的距离和最小，则点q的坐标为。

分析：（1）a在抛物线外，如图，连pf，则，因而易发现，当a、p、f三点共线时，距离和最小。

2）b在抛物线内，如图，作qr⊥l交于r，则当b、q、r三点共线时，距离和最小。

解：（1）（2，2）

连pf，当a、p、f三点共线时，最小，此时af的方程为即 y=2 (x-1),代入y2=4x得p(2,2)，（注：另一交点为()，它为直线af与抛物线的另一交点，舍去）

过q作qr⊥l交于r，当b、q、r三点共线时，最小，此时q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=，∴q()

点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

例2、f是椭圆的右焦点，a(1,1)为椭圆内一定点，p为椭圆上一动点。

1）的最小值为。

2）的最小值为。

分析：pf为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题。

解：（1）4-

设另一焦点为，则(-1,0)连a,p

当p是a的延长线与椭圆的交点时，取得最小值为4-。

作出右准线l，作ph⊥l交于h，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=，当a、p、h三点共线时，其和最小，最小值为。

例3、动圆m与圆c1:(x+1)2+y2=36内切，与圆c2:(x-1)2+y2=4外切，求圆心m的轨迹方程。

分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的a、m、c共线，b、d、m共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的）。

解：如图，（

点m的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15轨迹方程为。

点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！

例4、△abc中，b(-5,0),c(5,0),且sinc-sinb=sina,求点a的轨迹方程。

分析：由于sina、sinb、sinc的关系为一次齐次式，两边乘以2r（r为外接圆半径），可转化为边长的关系。

解：sinc-sinb=sina 2rsinc-2rsinb=·2rsina

即（*点a的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）

2a=6，2c=10

a=3， c=5， b=4

所求轨迹方程为（x>3）

点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）

例5、定长为3的线段ab的两个端点在y=x2上移动，ab中点为m，求点m到x轴的最短距离。

分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设a(x1,x12)，b(x2，x22)，又设ab中点为m(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。

2）m到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑m到准线的距离，想到用定义法。

解法一：设a(x1，x12)，b(x2，x22)，ab中点m(x0，y0)

则。由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9

即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④

由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0

代入④得 [(2x0)2-(8x02-4y0)]·1+(2x0)2]=9，≥

当4x02+1=3 即时，此时。

法二：如图，，即，，当ab经过焦点f时取得最小值。

m到x轴的最短距离为。

点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点m到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为a、b到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证ab是否能经过焦点f，而且点m的坐标也不能直接得出。

例6、已知直线交椭圆于b、c两点，点a坐标为（0，4），当椭圆右焦点f2恰为△abc的重心时，求直线的方程．

解：设，，，由为。

abc的重心有，得，．

所以bc中点为（3，－2）．又

两式相减得到：

可得即为的斜率，的方程为．

例7、已知椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于a、b、c、d、设f(m)=,1）求f(m),（2）求f(m)的最值。

分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因a、b**于“不同系统”，a在准线上，b在椭圆上，同样c在椭圆上，d在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得。

此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。

解：（1）椭圆中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点f1(-1,0)

则bc:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0

得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0

(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0

设b(x1,y1),c(x2,y2),则x1+x2=-

当m=5时，

当m=2时，

点评：此题因最终需求，而bc斜率已知为1，故可也用“点差法”设bc中点为m(x0,y0),通过将b、c坐标代入作差，得，将y0=x0+1，k=1代入得，∴，可见。

当然，解本题的关键在于对的认识，通过线段在x轴的“投影”发现是解此题的要点。

同步练习一】

1、已知：f1，f2是双曲线的左、右焦点，过f1作直线交双曲线左支于点a、b，若，△abf2的周长为（）

a、4ab、4a+mc、4a+2md、4a-m

2、若点p到点f(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则p点的轨迹方程是。

a、y2=-16x b、y2=-32x c、y2=16x d、y2=32x

3、已知△abc的三边ab、bc、ac的长依次成等差数列，且，点b、c的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，则顶点a的轨迹方程是（）

ab、 cd、

4、过原点的椭圆的一个焦点为f(1，0)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是。

a、 b、c、 d、

5、已知双曲线上一点m的横坐标为4，则点m到左焦点的距离是

6、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是。

7、已知抛物线y2=2x的弦ab所在直线过定点p(-2，0)，则弦ab中点的轨迹方程是。

圆锥曲线复习

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