例1. 已知a、b、c是直线l上的三点，且|ab|=|bc|=6，o′切直线l于点a，又过b、c作⊙o′异于l的两切线，设这两切线交于点p，建立适当直角坐标系，求点p的轨迹方程。
解】设过b、c异于l的两切线分别切⊙o′于d、e两点，两切线交于点p.
由切线的性质知：|ba|=|bd|，|pd|=|pe|，|ca|=|ce|，故|pb|+|pc|=|bd|+|pd|+|pc|=|ba|+|pe|+|pc|=
ba|+|ce|=|ab|+|ca|=6+12=18 ＞ 6 = bc|
故由椭圆定义知，点p的轨迹是以b、c为两焦点的椭圆(除长轴两端点)，
以l所在的直线为x轴，以bc的中点为原点，建立坐标系，
则长轴长2a=18a=9,焦距。
2c=6c=3,∴b2 =a2–c2 =72
动点p的轨迹方程为=1(y≠0)
例2. 例3.已知f1、f2为双曲线（a＞0，b＞0）的焦点，过f2作垂直于x轴的直线交双曲线于点p，且∠pf1f2＝30°．求双曲线的渐近线方程。
解：（1）设f2（c，0）（c＞0），p（c，y0），则=1。
解得y0=±，pf2|=，在直角三角形pf2f1中，∠pf1f2=30°
解法一：|f1f2|=|pf2|，即2c=，将c2=a2+b2代入，解得b2=2a2
解法二：|pf1|=2|pf2|，由双曲线定义可知。
pf1|－|pf2|=2a，得|pf2|=2a.
|pf2|=，2a=，即b2=2a2，∴
故所求双曲线的渐近线方程为y=±x。
例4.（书p81：t4）
答案： 例6．已知椭圆的直线与椭圆相交于ab两点，并且时，求直线的方程。()
说明：用斜率考虑要确定斜率是否存在？
题7．求中心在原点，一个焦点为且被直线截得的弦中点横坐标为的椭圆方程。
【解】由已知可设所求椭圆方程为。
椭圆的一个焦点为∴a2 – b 2 = 50 ①
由消去y并化简得：
a2+9b2)x2 –12b2x+4b2 – a2b2=0
且△=(12b2)2 – 4(a2+9b2)( 4b2 – a2b2)>0
椭圆被直线截得的弦中点横坐标为。
解① ②得a2 = 75,b2 = 25
故所求椭圆方程为。
例8． 已知椭圆是椭圆上一点。
1)求的最值； (2)求的最值；
(3) 求的最值； (4) 求的最值。
解：（法1）由。
由此得。法2）令数形结合可知。
2) （法1:几何意义法）
设：,即，显然，直线与椭圆相切时，m取最大和最小值。
法2:柯西不等式法）
法3:三角代换法）
练习：1．已知点p在圆上移动，求：|pq|的最大值。
而有最大值5，故|pq|的最大值为6。
2．已知椭圆轴的正半轴交于点是原点。若椭圆上存在一点m，使得的取值范围。
解：设的坐标为有（直角三角形性质）
于是下面方程组的解为m的坐标： 消去。故。
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