上课时间：2010-12-
授课教师：罗老师。
上课内容：1）、学习重难点：椭圆、双曲线、抛物线的方程以及几何应用。
2）、学习规划：常见题型的解题技巧和方法。
1、课前热身。
1、设抛物线截直线所得的弦长长为，求的值。
分析：联立直线与抛物线的方程，化简，根据根与系数的关系，求弦长。
解： 设。联立方程：得。
则。2、已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程。
2、抛物线。
注： 焦点的非零坐标是一次项系数的；
对于不同形式的抛物线，位置不同，其性质也有所不同，应弄清它们的异同点，数形结合，掌握方程与有关特征量，有关性质间的对应关系，从整体上认识抛物线及其性质。
例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．
分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程．
2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程．
解：（1），∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：
2）原抛物线方程为：，
当时，，抛物线开口向右，焦点坐标是，准线方程是：．
当时，，抛物线开口向左，焦点坐标是，准线方程是：．
综合上述，当时，抛物线的焦点坐标为，准线方程是：．
例2 若直线与抛物线交于a、b两点，且ab中点的横坐标为2，求此直线方程．
分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k．
解法一：设、，则由：可得：．
直线与抛物线相交，且，则．
ab中点横坐标为：，解得：或（舍去）．故所求直线方程为：．
解法二：设、，则有．
两式作差解：，即．
故或（舍去）．则所求直线方程为：．
例3（1）设抛物线被直线截得的弦长为，求k值．
2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点p为顶点作三角形，
当三角形的面积为9时，求p点坐标．
分析：（1）题可利用弦长公式求k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求p点坐标．
解：（1）由得：
设直线与抛物线交于与两点．则有： ，即。
2），底边长为，∴三角形高。
点p在x轴上，∴设p点坐标是。
则点p到直线的距离就等于h，即。
或，即所求p点坐标是（－1，0）或（5，0）．
四、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义。
与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当0＜e＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线，当e＝1时，是抛物线．
各类习题集。
1、抛物线。
1．抛物线上一点a的纵坐标为4，则点a与抛物线焦点距离为。
(a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5
2．抛物线y=4上的一点m到焦点的距离为1，则点m的纵坐标是。
( a ) b ) c ) d ) 0
3．抛物线以原点为顶点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线上，则抛物线的方程为。
a）（b）（c）或（d）或。
4．过抛物线的焦点作直线交抛物线于点两点，若，则pq中点m到抛物线准线的距离为。
a）5 （b）4 （c）3 （d）2
5、已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，在抛物线上有一点m到焦点f的距离为5，则抛物线的标准方程为 x2=-4y ，的值为 a=±4
6.、抛物线y2=－12x的一条弦的中点为m（－2，－3），则此弦所在直线的方程是2x-y+1=0 .
7、已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点a（4，m）到焦点的距离为6. （1）求此抛物线的方程； （2）若此抛物线方程与直线相交于不同的两点a、b，且ab中点横坐标为2，求k的值。
解：（1）由题意设抛物线方程为，其准线方程为，a（4，m）到焦点的距离等于a到其准线的距离。
∴此抛物线的方程为。
2）由消去。
直线与抛物线相交于不同两点a、b，则有。
解得解得（舍去）
所求k的值为2
二、综合习题。
1、设椭圆的长轴为4，两焦点与短轴的一个端点构成一正三角形，则椭圆的标准方程为。
2、以为渐近线且过点的双曲线的标准方程为___
3、p是椭圆上的一点，f1、f2是两焦点，且三角形f2pf1 是直角三角形，则的面积可能是___
4、已知椭圆kx2+4ky2=1的一个焦点是 (－3,0)，则k
5、点的等轴双曲线的标准方程为___
6、经过椭圆和椭圆的（1）焦点的圆的方程为___2）交点的圆的方程为。
8、双曲线的一条渐近线是，则m
9、若直线与双曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是。
10、已知椭圆c的焦点分别为和，长轴长为6，设直线交椭圆c于a、b两点，求线段ab中点的坐标。
11、过点、倾斜角为的直线交椭圆于a、b两点，求弦ab的长。
过椭圆的左焦点f1作直线和椭圆交于a、b两点，若弦ab的长恰好等于短轴长，求直线的方程。
12、设f1、f2为双曲线的焦点，过f2作垂直于轴的直线交双曲线于点p，且∠p f1f2=300，求双曲线的渐近线方程。
13、如图，若是双曲线的实半轴，是虚半轴，是焦点，且，，求此双曲线的标准方程。
14、已知双曲线的方程，过点作斜率为的直线交双曲线于点，若的中点在直线上，求此直线的方程。
15、顶点在原点，焦点在轴上的抛物线截直线所得的弦长为，求此抛物线的方程。
16、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则。
a． b． c． d．
17、椭圆的两个焦点f1、f2，点p在椭圆c上，且p f1⊥pf2,,|p f1|=,p f2|=.
i）求椭圆c的方程；
ii）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心m交椭圆于a、b两点，且a、b关于点m对称，求直线l的方程。
解法一：(ⅰ因为点p在椭圆c上，所以，a=3.
在rt△pf1f2中，故椭圆的半焦距c=,从而b2=a2－c2=4,所以椭圆c的方程为＝1.
ⅱ)设a，b的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）. 由圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心m的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1,代入椭圆c的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.
因为a，b关于点m对称。 所以解得，所以直线l的方程为即8x-9y+25=0. (经检验，符合题意)
解法二：(ⅰ同解法一。(ⅱ已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心m的坐标为（－2，1）.
设a，b的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且。
由①－②得。
因为a、b关于点m对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,代入③得＝，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意。)
18、已知三点p（5，2）、（6，0）、（6，0）.
（ⅰ）求以、为焦点且过点p的椭圆的标准方程；
ⅱ）设点p、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。
解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为(a>b>0),其半焦距c=6,b2=a2-c2=9.
所以所求椭圆的标准方程为。
2）点p(5,2)、f1(-6,0)、f2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点p，(2，5)、f1，(0，-6)、f2，(0，6).
设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6
b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为。
19、双曲线c与椭圆有相同的焦点，直线y=为c的一条渐近线。
求双曲线c的方程；
设双曲线方程为由椭圆求得两焦点为，对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线。
解得，双曲线的方程为。
20、已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点。
1）求该椭圆的标准方程；
2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。
解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.
又椭圆的焦点在x轴上， ∴椭圆的标准方程为。
2)设线段pa的中点为m(x,y) ,点p的坐标是(x0,y0),得
由，点p在椭圆上，得，
线段pa中点m的轨迹方程是。
3)当直线bc垂直于x轴时，bc=2,因此△abc的面积s△abc=1.
当直线bc不垂直于x轴时，说该直线方程为y=kx,代入，解得b(,)c(－,则，又点a到直线bc的距离d=,△abc的面积s△abc=
于是s△abc=
当时；当时。
当时其中，当k=－时，等号成立。
s△abc的最大值是。
21、如图，在直角坐标系中，设椭圆的左右两个焦点分别为。 过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为。
1) 求椭圆的方程；
2) 设椭圆的一个顶点为，直线交椭圆于另一点，求△的面积。
1) [解法一]轴，的坐标为。
由题意可知得。
所求椭圆方程为。
解法二]由椭圆定义可知。
由题意，.
又由△可知 ，，又，得。 椭圆的方程为。
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