兰博培训学校2010暑假高三数学专题班讲义。
圆锥曲线。第一节椭圆。
例1、椭圆焦距|f1f2|=4，点p在椭圆上，∠f1pf2=，若△f1pf2的面积s=，求椭圆的标准方程。
解题思路分析：
因△f1pf2的面积可通过s=
及s=两种方式转化，故本题有两种解题途径。
思路一：如图，建立坐标系，则f1(-7，0)，f2(7，0)，不妨设p(x0，y0)，（x0>0，y0>0）
又， 直线pf1到直线pf2的角为。
p在椭圆上。
又 a2-b2=c2=49
②联立，解得a2=62，b2=13
所求椭圆方程为。
当f1，f2在y轴上时，椭圆方程为。
思路二：不防设|pf1|=r1，|pf2|=r2，则。
r1r2=52
在△f1pf2中。
|f1f2|2=r12+r22-2r1r2cos
|f1f2|2=(r1+r2)2-r1r2
142=(2a)2-52
a2=62
b2=a2-c2=13
当焦点在x轴上时，椭圆方程为。
当焦点在y轴上时，椭圆方程为。
注：思路一偏重于坐标系中的运算，思路二涉及到三个方面的重要知识，一是定义，一般地，当涉及到椭圆上的点到焦点的距离（又称焦半径）时，总是联想到定义，这是解题规律；二是解三角形的知识，如正弦定理，余弦定理等，△pf1f2常称为焦点三角形，三是整体计算的思想，如2a=r1+r2，求得r1+r2，即求得2a；对条件r1r2的整体运用等。思路二是先定形状，再定位置。
例2、定点a（-1，1），b（1，0），点p在椭圆上运动，求|pa|+|pb|的最值。
解题思路分析：
b为右焦点。
若用距离公式建立函数关系再求最值显然行不通。
考虑用平面几何知识求解。
解题的突破口是用定义转化|pb|
设左焦点为b1（-1，0），则|pb|=2a-|pb1|=4-|pb1|
|pa|+|pb|=4+|pa|-|pb1|
|pa|-pb1|≤|ab1|
当且仅当p、a、b1三点共线时，等号成立。
连ab1，延长交椭圆于p1，则|p1a|-|p1b1|=|ab1|
当p在p1时(|pa|-|pb1|)max=|ab1|=1
(|pa|+|pb|)max=5，此时p1（-1，）
又 |pa|+|pb|=4+|pa-|pb1|=4-（|pb1|-|pa|）
当|pb1|-|pa|最大时，|pa|+|pb|最小。
同刚才理由，延长b1、a交椭圆于p2
则|pb1|-|pa|≤|ab1|=|p2b1|-|p2a|=1
(|pa|+|pb|)min=3，此时p2（-1，）
注：本题关键有二，一是利用定义转化焦半径；二是利用了三角形中边的不等关系，即两边之差小于第三边，如一般情形下，|pb1|-|pa|<|ab1|。当|ab1|为常数，且严格不等号能取得等号时，|ab1|为|pb1|-|pa|的最大值。
这是利用最值定义求最值时一种重要的处理方法，即先找不等关系，再试图寻找等号成立的条件。
例3、已知△abc的三边a>b>c，且a、b、c成等差数列，a、c坐标分别为（-1，0）和（1，0），求顶点b的轨迹。
解题思路分析：
a、b、c成等差数列。
a+c=2b
即 |bc|+|ba|=2|ac|=4
a、c为定点，4>|ac|>2
由椭圆定义知，点b轨迹是以a、c为焦点的椭圆，其方程为。
根据题设，需检查完备性。
a>b>c
|bc|>|ba|
点b在y轴右侧。
又abc构成三角形。
y≠0 所求轨迹为椭圆在y轴左侧部分，去掉（-2，0），如图。
例4、已知椭圆两个焦点坐标是f1（-2，0）、f2（2，0），且经过点p（），试求椭圆的标准方程。
解题思路分析：
法一：利用待定系数法。
根据焦点坐标特征，设椭圆方程为（a>b>0）
则。解之得，或。
椭圆的标准方程为。
思路二：已知两焦点及椭圆上一点，利用定义求参数。
2a=|pf1|+|pf2|=
a2=10
b2=a2-c2=6
所求椭圆方程为。
注：比较两种方法可知，思路一运算量大，利用定义则可大大减少字母运算，希望同学们重视定义法解题。
例5、已知两圆⊙o1：x2+y2+2x-15=0，⊙o2：x2+y2-2x=0
1） 证明两圆内含；
2） 如果⊙p与⊙o1内切，又与⊙o2外切，试求⊙p圆心p的轨迹方程。
解题思路分析：
（1）⊙o1：(x+1)2+y2=42，⊙o2：(x-1)2+y2=1
圆心o1（-1，0），o2（1，0），半径r1=4，r2=1
只需证|o1o2|<|r1-r2|即可。
|o1o2|=2，|r1-r2|=r1-r2=3
⊙o1与⊙o2内含。
（2）设⊙p的半径为r1
则。 |po1|+|po2|=5
5>|o1o2|=2
点p轨迹是以o1、o2为焦点的椭圆，其方程为。
同步练习。一） 选择题。
1、 焦距为6，焦点在x轴上的椭圆经过点（0，-4），则如椭圆标准方程是。
ab、cd、
2、 方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是。
a、（3，7） b、（3，5）∪（5，7） c、（3，5） d、（5，7）
3、 过椭圆的一个焦点，且垂直于x轴的直线被此椭圆截得的弦长为。
ab、3cd、
4、 若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点是（0，-4），则实数k的值是。
ab、8cd、32
5、已知f1、f2是椭圆的两个焦点，过f1的直线与椭圆交于m、n两点，则△mnf2的周长是。
a、10b、16c、20d、32
6、若关于x、y的方程x2sinα-y2cosα=1所表示的曲线是椭圆，则方程(x+cosα)2+
y+sinα)2=1所表示的圆的圆心在。
a、第一象限 b、第二象限 c、第三象限 d、第四象限。
7、已知两椭圆ax2+y2=8与9x2+25y2=100的焦距相等，则a的值为。
a、9或 b、或 c、9或d、或。
8、若f是椭圆（a>b>0）的一个焦点，mn是过中心的一条弦，则△fmn面积的最大值是。
a、abb、acc、bcd、
二） 填空题。
9、椭圆4x2+2y2=1的焦点坐标是。
10、椭圆上一点p与两焦点恰好构成边长为2的正三角形，则此椭圆标准方程为。
11、中心在原点，以直线3x+4y-12=0与两坐标轴的交点分别作为顶点和焦点的椭圆方程是。
12、对称轴在坐标轴上的椭圆经过点p（3，0），且长轴长是短轴长的三倍，则椭圆方程是。
13、若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是。
14、若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是。
15、椭圆ax2+by2+ab=0（a（三） 解答题。
16、椭圆的两个焦点f1、f2在x轴上，以|f1f2|为直径的圆与椭圆的一个交点为（3，4），求椭圆的标准方程。
17、一动点到两条相交于原点直线y=±kx（k>0）的距离的平方和为常数r2（r>），求此动点的轨迹。
18、设p是椭圆（a>b>0）上的一点，f1、f2是椭圆的两个焦点。
1） 记∠f1pf2=θ，求证；
2） 若|pf1|-|pf2|=2m（m>0），求证：∠f1pf2=
19、已知b（8，0），c（-8，0）是△abc的两个顶点，ab、ac上中线长之和为30，分别求重心g和顶点a的轨迹方程。
20、过原点的椭圆的一个焦点为f（1，0），其长轴长为4，求椭圆中心的轨迹方程。
第二节椭圆的几何意义。
一、 典型例题。
例1、定点a（-1，1），b（1，0），点p在椭圆上运动，求|pa|+2|pb|的最小值。
解题思路分析：
如果试图用距离公式建立函数关系，从而求最小值，显然是行不通的。注意到b（1，0）是焦点，因此用定义转化2|pb|
设右准线 ： 4
过p作ph⊥ ，h为垂足。
则， |ph|=2|pb|
(|pa|+2|pb|)min=(|pa|+|ph|)min
a、 分别为定点与定直线。
过a作ah0⊥ ，交椭圆于p0，h0为垂足，则点p0为所求的点。
(|pa|+|ph|)min=|ah0|=5
注：实际上，|pa|+2|pb|=|pa|+|pb|。对于与焦半径及离心率有关的问题，一般用椭圆的第二定义转化。
例2、过椭圆的左焦点f作倾斜角为α的弦mn，若弦长不大于短轴长，求cosα的取值范围。
解题思路分析：
本题cosα范围所对应的不等关系很明显：|mn|≤2b=4，关系是如何求|mn|，焦半径的原理就是椭圆的第二定义。
设直线mn：，代入得(1+4k2)x2+16k2x+16(3k2-1)=0
焦点f在椭圆内部。
该方程判别式△≥0恒成立。
设m（x1，y1），n（x2，y2）
则 x1+x2
又|mn|=|mf|+|nf|=a+ex1+a+ex2=2a+e(x1+x2)=8+ (x1+x2)
8+ (x1+x2)≤4
x1+x2
由①②得：≤
化简得：k2≥，即≥
注：当直线与椭圆相交时，对于交点，一般都用设而不求的思想处理。途径一就是本例的模型；列方程组，用韦达定理。另一种常用途径见下例。
例3、焦点在x轴上的椭圆c的一顶点为b（0，-1），右焦点到直线m：x-y+=0的距离为3，1） 求c的方程；
（2）是否存在斜率k≠0的直线与c交于两点m、n，使|bm|=|bn|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，注明理由。
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