双曲线。要点提示。
1．双曲线。
1）双曲线的概念。
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。
注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。
椭圆和双曲线比较：
2）双曲线的性质。
范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。
对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。
令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。
渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。
等轴双曲线：
1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；
2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；2）渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目**现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。
3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为： ，当时交点在轴，当时焦点在轴上。
注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。
典例分析。1．设双曲线＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为 （
a、y＝±x b、y＝±2x c、y＝±x d、y＝±x
2．从双曲线的左焦点引圆的切线，交双曲线的右支于点，为切点，为线段的中点，是坐标原点，则等于（ ）
a． b． c． d．
3．已知双曲线一条渐近线与直线平行，且离心率为，则的最小值为（ ）
a、 b、 c、 d、
4．已知圆的圆心是双曲线的一个焦点，则此双曲线的渐近线方程为。
5.设为直线与双曲线左支的交点，是左焦点，垂直于轴，则双曲线的离心率
基础强化。6.双曲线的实轴长是。
a. 2b. 2c. 4d. 4
7．在平面直角坐标系中，已知△的顶点和，顶点在双曲线的右支上，则等于。
ab． c． d．
8．已知是双曲线的两个焦点，点是双曲线上的点，并且，则的面积为＿＿＿
能力提高。9．过点且被点平分的双曲线的弦所在直线方程为 _.
10．已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线的离心率，若p、q有且只有一个为真，求m的取值范围。
11．已知双曲线c:
1) 若与c有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
2) 若与c交于a,b两点，o是坐标原点，且求实数k的值。
12．已知双曲线过点p，它的渐近线方程为。
1）求双曲线的标准方程；
2）设f1和f2是这双曲线的左、右焦点，点p在这双曲线上，且|pf1|·|pf2|=32，求∠f1pf2的大小。
真题演练。13．如图，是双曲线的两个焦点，o为坐标原点，圆是以为直径的圆，直线：与圆o相切，并与双曲线交于a、b两点．
ⅰ)根据条件求出b和k的关系式；
ⅱ）当时，求直线的方程；
ⅲ）当，且满足时，求面积的取值范围．
参***。1．c
2．d3．c
4．c5．b
10．解：将方程改写为，只有当即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以命题p等价于；因为双曲线的离心率，所以，且1，解得，所以命题q等价于；若p真q假，则；
若p假q真，则。
综上：的取值范围为。
11．(1)由消去y得。
因为直线与双曲线有两个不同的交点，则解得所以适合题意的k的范围为。
2) 结合(1)设则。
所以。因为点o到直线的距离。
即故适合题意的k的取值为0，
13．解：（ⅰ
3分。(ⅲ)由（ⅱ）知： 于是。
10分。又到的距离。
13分。
圆锥曲线三
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