第一类求轨迹问题。
02北京）已知，，是的三个顶点，如图．
1）写出的重心，外心，垂心的坐标，并证明、、三点共线；
2）当直线与平行时，求顶点的轨迹．
解：（1）由三顶点坐标，，（可求得重心，外心，垂心．
当时，三点的横坐标均为，故三点共线；
当时，设所在直线的斜率为，所在直线的斜率为．
因为，，所以，三点共线．综上可得，三点共线．
2）若，由，得（），整理得，即（）．
因此，顶点的轨迹是中心在，长半轴长为，短半轴长为，且短轴在轴上的椭圆，除去，，，四点．
2003北京春招22．（本小题满分13分）
已知动圆过定点p（1，0），且与定直线相切，点c在l上。
（ⅰ）求动圆圆心的轨迹m的方程；
ⅱ）设过点p，且斜率为－的直线与曲线m相交于a，b两点。
（i）问：△abc能否为正三角形？若能，求点c的坐标；若不能，说明理由；
（ii）当△abc为钝角三角形时，求这种点c的纵坐标的取值范围。
分析：本小题主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能。
力。 满分13分。
解：（ⅰ依题意，曲线m是以点p为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线m的方程为。
ⅱ）（i）由题意得，直线ab的方程为。
消y得。所以a点坐标为，b点坐标为（3，），假设存在点c（－1，y），使△abc为正三角形，则|bc|=|ab|且|ac|=|ab|，即。
由①－②得。
但不符合①，所以由①，②组成的方程组无解。
因此，直线l上不存在点c，使得△abc是正三角形。
ii）解法一：
设c（－1，y）使△abc成钝角三角形，由，即当点c的坐标为（－1，）时，a，b，c三点共线，故。
又，， 当，即，即为钝角。
当，即，即为钝角。
又，即，即。 该不等式无解，所以∠acb不可能为钝角。
因此，当△abc为钝角三角形时，点c的纵坐标y的取值范围是。
解法二：以ab为直径的圆的方程为。
圆心到直线的距离为，所以，以ab为直径的圆与直线l相切于点g.
当直线l上的c点与g重合时，∠acb为直角，当c与g
点不重合，且a，b，c三点不共线时， ∠acb为锐角，即△abc中∠acb不可能是钝角。
因此，要使△abc为钝角三角形，只可能是∠cab或∠cba为钝角。
过点a且与ab垂直的直线方程为。
第二类含参数求参数范围。
2024年浙江理科（19）设点到点、距离之差为，到、轴的距离之比为2，求的取值范围。
19）解：设点的坐标为，依题设得，即，
因此，点、、三点不共线，得。
因此，点在以、为焦点，实轴长为的双曲线上，故。
将代入，并解得。因。所以。
解得。即的取值范围为。
第三类求直线与圆锥曲线相交求交线长。
2002上海理科18．（本题满分12分）已知点a（—，0）和b（，0），动点c到a、b两点的距离之差的绝对值为2，点c的轨迹与直线y=x—2交于d、e两点。求线段de的长。
答案；. de|=4.
2002 北京（22）（理）已知某椭圆的焦点是f1(–4,0)、f2(4,0)，过点f2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为b，且|f1b|+|f2b|=10，椭圆上不同的两点a(x1,y1)、c(x2,y2)满足条件：|f2a|、|f2b|、|f2c|成等差数列．
（ⅰ）求该椭圆方程；
ⅱ）求弦ac中点的横坐标；
（ⅲ）设弦ac的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围．
答案 （ⅰx2/25+y2/9=1；（ⅱx0=4；（ⅲ16第四类判断存在和说明存在原因。
2003天津理科21．（本小题满分14分）
已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点o以c+λi为方向向量的直线与经过定点a（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点p，其中λ∈r.试问：是否存在两个定点e、f，使得|pe|+|pf|为定值。
若存在，求出e、f的坐标；若不存在，说明理由。
解：根据题设条件，首先求出点p坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点p到两定点距离的和为定值。
i=（1，0），c=（0，a）， c+λi=（λa），i－2λc=（1，－2λa）.
因此，直线op和ap的方程分别为和。
消去参数λ，得点的坐标满足方程。
整理得因为所以得：
i）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点e和f；
（ii）当时，方程①表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点；
（iii）当时，方程①也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点。
第五类证明函参数等式成立问题。
2003北京春招理科18．（本小题满分15分）
如图，椭圆的长轴a1a2与x轴平行，短轴b1b2在y轴上，中心为m（0，r）（
（ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
（ⅱ）直线交椭圆于两点直线交椭圆于两点求证：；
（ⅲ）对于（ⅱ）中的c，d，g，h，设ch交x轴于点p，gd交x轴于点q.
求证：|op|=|oq证明过程不考虑ch或gd垂直于x轴的情形）
ⅰ）解：椭圆方程为焦点坐标为。
离心率。ⅱ）证明：将直线cd的方程代入椭圆方程，得。
整理得根据韦达定理，得。
所以①将直线gh的方程代入椭圆方程，同理可得，由①，②得所以结论成立。
ⅲ）证明：设点p（p,0），点q（q,0），由c、p、h共线，得解得，由d、q、g共线，同理可得。
变形得。即。
所以。2024年全国（广东）21．（本小题满分14分）
已知常数，在矩形abcd中，，，o为ar的中点，点e、f、g分别在bc、cd、da上移动，且，p为ge与of的交点（如图），问是否存在两个定点，使p到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。
解：根据题设条件，首先求出点p坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点p到两点距离的和为定值。
按题意有a（－2，0），b（2，0），c（2，4a），d（－2，4a）设。
由此有e（2，4ak），f（2－4k，4a），g（－2，4a－4ak）
直线of的方程为：①
直线ge的方程为：②
从①，②消去参数k，得点p（x,y）坐标满足方程。
整理得当时，点p的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点。
当时，点p轨迹为椭圆的一部分，点p到该椭圆焦点的距离的和为定长。
当时，点p到椭圆两个焦点（的距离之和为定值。
当时，点p 到椭圆两个焦点（0， 的距离之和为定值2.
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