圆锥曲线。
圆锥曲线(英语:conic section),又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线,是数学、几何学中通过平切圆锥(严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切)得到的曲线,包括圆,椭圆,抛物线,双曲线及一些退化类型。
圆锥曲线在约公元前200年时就已被命名和研究了,其发现者为古希腊的数学家阿波罗尼奥斯,那时阿波罗尼阿斯对它们的性质已做了系统性的研究。
圆锥曲线应用最广泛的定义为(椭圆,抛物线,双曲线的统一定义):动点到一定点(焦点)的距离与其到一定直线(准线)的距离之比为常数(离心率e)的点的集合是圆锥曲线。对于0 < e < 1得到椭圆,对于e = 1得到抛物线,对于e > 1得到双曲线。
圆锥曲线的类型:1.抛物线2.圆和椭圆3.双曲线。
椭圆,圆:当平面只与圆锥面一侧相交,交截线是闭合曲线的时候,且不过圆锥顶点,结果为椭圆。如果截面与圆锥面的对称轴垂直,结果为圆。
抛物线:截面与圆锥面的母线平行,且不过圆锥顶点,结果为抛物线。
双曲线:截面与圆锥面两侧都相交,且不过圆锥顶点,结果为双曲线。
在平面通过圆锥的顶点的时候,有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。
椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长(2a)。
抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于贯轴长(2a)。
有固定焦点f和准线的椭圆 (e=1/2)、抛物线 (e=1)和双曲线 (e=2)。
对于椭圆和双曲线,可以采用两种焦点-准线组合,每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是,这里的是椭圆的半长轴,或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是。
在圆的情况下,e = 0且准线被假想为离中心无限远。这时声称圆由距离是到l的距离的e倍的所有点组成是没有意义的。
圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。
对于一个给定的, 越接近于1,半短轴就越小。
在笛卡尔坐标系内,二元二次方程的图像可以表示圆锥曲线,并且所有圆锥曲线都以这种方式引出。方程有如下形式。
有着参数,和不得皆等于。
如果,方程表示椭圆(除非圆锥曲线退化了,例如);
如果且且,方程表示圆;
如果,方程表示抛物线;
如果,方程表示双曲线;
如果还有,方程表示直角双曲线。
注意这里的和就是多项式系数,不是前面定义的半长/短轴的长度。
通过坐标变换这些方程可以变为标准形式:
椭圆的半正焦弦。
圆锥曲线的半正焦弦(semi-latus rectum)通常指示为l,是从单一焦点或两个焦点中的一个,到圆锥曲线自身的,沿着垂直于主轴(长轴)的直线度量的距离。它有关于半长轴a,和半短轴b,通过公式或。
在极坐标系中,圆锥曲线有一个焦点在原点,如果有另一个焦点的话它在正x轴上,给出自方程。
或者,如上,对于e = 0得到一个圆,对于0 < e < 1得到椭圆,对于e = 1得到抛物线,对于e > 1得到双曲线。
在齐次坐标下圆锥曲线可以表示为:
或表示为矩阵:
矩阵叫做“圆锥曲线矩阵”。
叫做圆锥曲线的行列式。如果δ =0则这个圆锥曲线被称为退化的,这意味着圆锥曲线是两个直线的联合(两相交直线,两平行直线或两重合直线)或一点。。
例如,圆锥曲线退化为两相交直线:。
类似的,圆锥曲线有时退化为两重合直线(两直线重合成一条):
被称为圆锥曲线的判别式。如果δ =0则圆锥曲线是抛物线,如果δ<0则是双曲线,如果δ>0则是椭圆。如果δ>0且a1 = a2,圆锥曲线是圆;如果δ<0且a1 = a2,它是直角双曲线,。
可以证明在复射影平面中,两个圆锥曲线共有四个点(如果考虑重根),所以永不多于4个交点并总有1个交点(可能性:4个不同的交点,2个单一交点和1个双重交点,2个双重交点,1单一交点和1个三重交点,1个四重交点)。如果存在至少一个重根》 1的交点,则两个圆锥曲线被称为相切的。
如果只有一个四重交点,两个圆锥曲线被称为是共振的。
进一步的,每个直线与每个圆锥曲线相交两次。如果两交点是重合成一点,则这个线被称为切线。因为所有直线交圆锥曲线两次,每个圆锥曲线有两个点在无穷远(与无穷远线的交点)。
如果这些点是实数的,圆锥曲线必定是双曲线;如果它们是虚共轭,圆锥曲线必定是椭圆,如果圆锥曲线有双重点在无穷远,则它是抛物线。如果在无穷远的点是 (1,i,0)和(1,-i,0),则圆锥曲线是圆。如果圆锥曲线有一个实数点和一个虚数点在无穷远,或它有两个不共轭的虚数点,它不是抛物线不是椭圆不是双曲线。
圆锥曲线 双曲线
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