圆锥曲线。
1.已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
(ⅰ)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．
2. 如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点f到左准线l的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；
（2）过f的直线与椭圆交于a，b两点，线段ab的垂直平分线分别交直线l和ab于。
点p，c，若pc=2ab，求直线ab的方程。
3..已知椭圆e：过点，且离心率为．
ⅰ)求椭圆e的方程；
ⅱ)设直线交椭圆e于a，b两点，判断点g与以线段ab为直径的圆的位置关系，并说明理由．
4.已知椭圆上两个不同的点，关于直线对称．
1）求实数的取值范围；
2）求面积的最大值（为坐标原点）．
5.平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上。
ⅰ)求椭圆的方程；
ⅱ）设椭圆， 为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点。 (i )求的值； （ii）求面积的最大值。
6.设椭圆e的方程为，点o为坐标原点，点a的坐标为，点b的坐标为，点m**段ab上，满足，直线om的斜率为。
（i）求e的离心率e；
）设点c的坐标为，n为线段ac的中点，点n关于直线ab的对称点的纵坐标为，求。
e的方程。7.已知椭圆的左焦点为，离心率为，点m在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为c，.
i)求直线的斜率；(ii)求椭圆的方程；
iii)设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围。
8.如图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且。
1）若，求椭圆的标准方程。
2）若求椭圆的离心率。
9.如图，椭圆e：的离心率是，过点p（0,1）的动直线与椭圆相交于a，b两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆e截得的线段长为。
1)求椭圆e的方程；
2）在平面直角坐标系中，是否存在与点p不同的定点q，使得恒成立？若存在，求出点q的坐标；若不存在，请说明理由。
10.一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽ab滑动，且，．当栓子在滑槽ab内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
ⅰ）求曲线c的方程；
ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试**：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
11.已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．
i）求椭圆的离心率；
ii）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的。
方程．12.在直角坐标系中，曲线c：y=与直线(＞0)交与m,n两点，ⅰ）当k=0时，分别求c在点m和n处的切线方程；
ⅱ）y轴上是否存在点p，使得当k变动时，总有∠opm=∠opn？说明理由。
13.已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．
ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；
ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
14.已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为。
1）求的方程；
2）过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向。
ⅰ）若，求直线的斜率。
ⅱ）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形。
15.已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为。
1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；
2）设与的斜率之积为，求面积的值。
1.【答案】(ⅰ详见解析；（ⅱ能，或．
解析】(ⅰ设直线，，，
将代入得，故，解得，．因为，，，所以当的斜率为。
或时，四边形为平行四边形．
2.【答案】（1）（2）或．（1）由题意，得且，解得，，则，所以椭圆的标准方程为．（2）当轴时，，又，不合题意．当与轴不垂直时，设直线的方程为，，，将的方程代入椭圆方程，得，则，的坐标为，且。
若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意．
3.【答案】(ⅰg在以ab为直径的圆外．
解析】解法一：(ⅰ由已知得。
解得，所以椭圆e的方程为．
ⅱ)设点ab中点为．
由所以从而。所以。故。
所以，故g在以ab为直径的圆外．
解法二：(ⅰ同解法一。
ⅱ)设点，则由所以从而。
所以不共线，所以为锐角。故点g在以ab为直径的圆外．
4.【答案】（1）或；（2）.（1）由题意知，可设直线ab的方程为，由，消去，得，∵直线与椭圆有两。
个不同的交点，∴，将ab中点代入直线方程解得，②。由①②得或；（2）令。
则，且o到直线ab的距离为，设的面积为，，当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为。
5.【答案】（i）；（ii）( i )2；（ii）. i）由题意知，则，又可得，所以椭圆c的标准方程为。
（ii）由（i）知椭圆e的方程为，i）设， ，由题意知因为，又，即，所以，即。（ii）设将代入椭圆e的方程，可得由，可得…①则有所以因为直线与轴交点的坐标为所以的面积
令，将代入椭圆c的方程可得由，可得…②由①②可知因此，故当且仅当，即时取得最大值由（i）知， 面积为，所以面积的最大值为。
6.【答案】（i）；（
7.【答案】(i)； ii)；(
解析】(i) 由已知有，又由，可得，，设直线的斜率为，则直线的方程为，由已知有，解得。
ii)由(i)得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去，整理得。
解得或，因为点在第一象限，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为。
)设点的坐标为，直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，消去，整理得，又由已知，得，解得或，设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得。
当时，有，因此，于是，得。
当时，有，因此，于是，得。
综上，直线的斜率的取值范围是。
8.【答案】（1）；（2）
1)由椭圆的定义，设椭圆的半焦距为c，由已知，因此即从而。
故所求椭圆的标准方程为。(2)解法一：如图(21)图，设点p在椭圆上，且，则。
求得由，得，从而。
由椭圆的定义，,从而由，有。
又由，知，因此。
于是解得。9.【答案】（1）；（2）存在，q点的坐标为。
解析】（1）由已知，点在椭圆e上。
因此，解得。所以椭圆的方程为。学优高考网。
2）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于c、d两点。如果存在定点q满足条件，则，即。所以q点在y轴上，可设q点的坐标为。
当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于m、n两点。则，由，有，解得或。所以，若存在不同于点p的定点q满足条件，则q点的坐标只可能为。
下面证明：对任意的直线，均有。当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立。
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，a、b的坐标分别为。
联立得。其判别式，所以，.因此。
易知，点b关于y轴对称的点的坐标为。
10.【答案】（ⅰ存在最小值8.（ⅰ设点，，依题意，且，所以，且即且
由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲线的方程为。
ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有。
2）当直线的斜率存在时，设直线， 由消去，可得。因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，所以，即。
又由可得；同理可得。由原点到直线的距离为和，可得。
11.【答案】（i）；（ii）．（i）过点，的直线方程为，学优高考网。
则原点到直线的距离，由，得，解得离心率。
ii)解法一：由（i）知，椭圆的方程为。 (1)依题意，圆心是线段的中点，且。
易知，不与轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得。
设则。由，得解得。
从而。于是。
由，得，解得。故椭圆的方程为。
12.【答案】（ⅰ或（ⅱ）存在（ⅰ）由题设可得，，或，.∵故在=处的到数值为，c在处的切线方程为，即。
故在=-处的到数值为-，c在处的切线方程为，即。 故所求切线方程为或。
ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设p（0，b）为复合题意得点，，，直线pm，pn的斜率分别为。将代入c得方程整理得。
当时，有=0，则直线pm的倾斜角与直线pn的倾斜角互补，故∠opm=∠opn，所以符合题意。
13.【答案】(1), 2)存在点。
14.【答案】（1）；（2）（i），（ii）详见解析。
1）由：知其焦点的坐标为，∵也是椭圆的一焦点，①，又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为，∴②联立①，②得，，故的方程为；（2）如图，i）∵与同向，且，∴，从而，即，于是③，设直线的斜率为，则的方程为，由得，而，是这个方程的两根，∴，由。
15.【答案】（1）详见解析（2）
解析】证明：（1）直线，点到的距离。
所以。解：（2）设，则。设。
由，得。同理。
由，整理得。
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