（山东理）已知抛物线c:，，直线l: y=ax+b，1）实数a、b满足的条件时，直线l和抛物线c有两个不同的公共点，2）求m的范围，对过a(m,0)的任意直线，在总存在两点关于这条直线对称。
解：(1)直线l和抛物线c有两个不同的公共点，则方程组有两组不同的的解，即有两不同的根。
所以，实数a、b满足的条件为：ab<1
(2)设过（m,0）的直线l1的方程为x+ay-m=0,(a≠0),和它垂直的直线l2方程设为y=ax+b，抛物线上总存在关于l1对称的两点，即抛物线和l2的有两个交点，且这两点的中点在l1上。
设l2与抛物线交点为a(x1,y1), b(x2,y2)，由（1）知：则。
a、b中点坐标在l1上，即，得，代入ab<1
得：对任意a恒成立。
则即。所以，时，对过a(m,0)的任意直线，在总存在两点关于这条直线对称。
山东文科（本小题满分12分）
已知椭圆：和有公共焦点，且两个焦点与短轴的一个端点。
构成等边三角形。
ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ）过点 (0,1)且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，设点关于y轴的对称点为。a1, 求证：直线a1b恒过y轴上的定点，并求出此定点坐标；
20．本题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力。 满分13分。
解：（ⅰ因为抛物线焦点是（0，1），所以半焦距=1.
因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形。
所以，解得所以椭圆的标准方程为。 …4分。
ⅱ）设直线：y=kx+1与联立并消去y得：
记， 由a关于y轴的对称点为a1，则a1（-x1,y1）,设a1b和y轴交于n（0，n）,则由题意知：
即。所以，
即对任意k成立，得n=4
故直线a1b恒过y轴上的定点，此定点为（0,4）；
全国理）已知抛物线c的焦点f在y轴上，抛物线上一点到其准线的距离为5，已知圆过定点，且圆心在轨迹上运动。
ⅰ）求抛物线的方程；
ⅱ）证明圆m和x轴恒有两个不同的交点；
3）设圆与轴交于、两点，设，，求的最大值．
本小题主要考查圆、抛物线、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
解答：1）设抛物线方程，因p(a,4）在抛物线上，所以，p>0，a≠0
p到准线距离为5，所以，准线方程，即。
所以，抛物线方程为。
2）设圆m的圆心(a,b)，则，半径。
所以，圆m和x轴恒有两个不同的交点。
3）由2）知，圆m的方程。
令y=0并解得，．
不妨设，，，
因时，由③得，．
当且仅当时，等号成立．
故当时，的最大值为．
全国文）已知椭圆c： =1（a>b>0）的离心率为，以原点为圆点，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切。
ⅰ）求椭圆的标准方程；
ii）m、n是椭圆c上的两点，若线段mn被直线x＝1平分，证明：线段mn的中垂线过定点。
20.解：（ⅰ由题意知e==，所以e2===即a2=b2．
又因为b==，所以a2=4，b2=3．故椭圆的方程为=1.
ⅱ）设，由题意知。
两式相减得：，所以，mn中垂线方程为
即，所以，恒过定点。
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