数学高考圆锥曲线压轴题

数学高考圆锥曲线压轴题经典**。

一、圆锥曲线中的定值问题。

★椭圆c：＋＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，a＋b＝3．

ⅰ）求椭圆c的方程；

ⅱ）如图，a，b，d是椭圆c的顶点，p是椭圆c上除顶点外的任意点，直线dp交x轴于点n直线ad交bp于点m，设bp的斜率为k，mn的斜率为m，证明2m－k为定值．

★如图，椭圆c：＋＝1（a＞b＞0）经过点p（1，），离心率e＝，直线l的方程为x＝4．

ⅰ）求椭圆c的方程；

ⅱ）ab是经过右焦点f的任一弦（不经过点p），设直线ab与直线l相交于点m，记pa，pb，pm的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

★椭圆c：＋＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别是f1，f2，离心率为，过f1且垂直于x轴的直线被椭圆c截得的线段长为1．

ⅰ）求椭圆c的方程；

ⅱ）点p是椭圆c上除长轴端点外的任一点，连接pf1，pf2，设∠f1pf2的角平分线pm交c的长轴于点m（m，0），求m的取值范围；

ⅲ）在（2）的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆c有且只有一个公共点，设直线pf1，pf2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明＋为定值，并求出这个定值．

二、圆锥曲线中的最值问题。

★在平面直角坐标系xoy中，椭圆c：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线y＝x被椭圆c截得的线段长为．

ⅰ）求椭圆c的方程；

ⅱ）过原点的直线与椭圆c交于a，b两点（a，b不是椭圆c的顶点）．点d在椭圆c上，且ad⊥ab，直线bd与x轴、y轴分别交于m，n两点．

i）设直线bd，am的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；

ii）求△omn面积的最大值．

★已知抛物线c：y2＝2px（p＞0）的焦点为f，a为c上异于原点的任意一点，过点a的直线l交c于另一点b，交x轴的正半轴于点d，且有|fa|＝|fd|．当点a的横坐标为3时，△adf为正三角形．

ⅰ）求c的方程；

ⅱ）若直线l1∥l，且l1和c有且只有一个公共点e，ⅰ）证明直线ae过定点，并求出定点坐标；

ⅱ）△abe的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

★★如图，o为坐标原点，椭圆c1：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为f1，f2，离心率为e1；双曲线c2：－＝1的左、右焦点分别为f3，f4，离心率为e2，已知e1e2＝，且|f2f4|＝－1．

ⅰ）求c1、c2的方程；

ⅱ）过f1作c1的不垂直于y轴的弦ab，m为ab的中点，当直线om与c2交于p，q两点时，求四边形apbq面积的最小值．

三、圆锥曲线与过定点（定直线）问题。

★设椭圆e：＋＝1的焦点在x轴上．

ⅰ）若椭圆e的焦距为1，求椭圆e的方程；

ⅱ）设f1，f2分别是椭圆e的左、右焦点，p为椭圆e上第一象限内的点，直线f2p交y轴于点q，并且f1p⊥f1q，证明：当a变化时，点p在某定直线上．

四、圆锥曲线与求参数。

★在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c的中心在原点o，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为．

ⅰ）求椭圆c的方程；

ⅱ）a，b为椭圆c上满足△aob的面积为的任意两点，e为线段ab的中点，射线oe交椭圆c与点p，设＝t，求实数t的值．

五、存在性问题。

★如图，已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）过点(1，)，离心率为，左、右焦点分别为f1、f2．点p为直线l：x＋y＝2上且不在x轴上的任意一点，直线pf1和pf2与椭圆的交点分别为a、b和c、d，o为坐标原点．

ⅰ）求椭圆的标准方程；

ⅱ）设直线pf1、pf2的斜线分别为k1、k2．

证明：－＝2；

问直线l上是否存在点p，使得直线oa、ob、oc、od的斜率koa、kob、koc、kod满足koa＋kob＋koc＋kod＝0？若存在，求出所有满足条件的点p的坐标；若不存在，说明理由．

六、轨迹方程。

★已知椭圆c：＋＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为f1（－1，0），f2（1，0），且椭圆c经过点p（，）

ⅰ）求椭圆c的离心率；

ⅱ）设过点a（0，2）的直线l与椭圆c交于m，n两点，点q是线段mn上的点，且＝＋，求点q的轨迹方程．