高考模拟题分析圆锥曲线综合题。
联立直线与曲线方程，直接利用韦达定理】
这种问题主要是联立直线与曲线方程，产生韦达定理，把条件转化为韦达定理的应用，从而解决问题。比如以下这几个条件都是转化为韦达定理的常见类型：以弦ab为直径的圆过原点(或某个定点)即为直角(有时候会转化为锐角、钝角)等等，请同学注意总结补充。
例题分析1：已知抛物线与过m的直线l相交于a、b两点，o为原点，若弦oa、ob，的斜率之和为1，求直线l的方程。
分析： -这里就能用上韦达定理，不做了……
例题分析2：已知定点f（1，0），动点p在y轴上运动，过点p作pm交x轴于点m，并延长mp到点n，且（1）动点n的轨迹方程；（2）线l与动点n的轨迹交于a，b两点，若，求直线l的斜率k的取值范围。
1）设动点n的坐标为（x,y），则
因此，动点的轨迹方程为。
2）设l与抛物线交于点a（x1,y1）,b(x2,y2)，当l与x轴垂直时，则由， 不合题意，故与l与x轴不垂直，可设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),则由---这里用上韦达定理。
由点a，b在抛物线又y2=4x, y=kx+b得ky2－4y+4b=0,所以因为。
解得直线l的斜率的取值范围是。
例题分析3：（2007福建卷21）如图、椭圆的一个焦点是f（1，0），o为坐标原点。（ⅰ已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；ⅱ）设过点f的直线l交椭圆于a、b两点。
若直线l绕点f任意转动，值有，求a的取值范围。
解一：(ⅰ设m，n为短轴的两个三等分点，因为△mnf为正三角形， 所以，即1＝因此，椭圆方程为。
(ⅱ)设(ⅰ)当直线 ab与x轴重合时，(ⅱ当直线ab不与x轴重合时，设直线ab的方程为：
整理得所以。
因为恒有，所以aob恒为钝角。 即恒成立。
这里用上韦达定理。
又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mr恒成立，即a2b2m2> a2 -a2b2+b2对mr恒成立。
当mr时，a2b2m2最小值为0，所以a2- a2b2+b2<0. a2因为a>0,b>0,所以a0,解得a>或a< (舍去)，即a>,综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+
例题分析4：已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4．（1）求曲线的方程；（2）设过的直线与曲线交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程．
解：（1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆， 其中，，则．
所以动点m的轨迹方程为．
2）当直线的斜率不存在时，不满足题意．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设这里用到了韦达定理 ，∴由方程组得．则，，代入①，得．即，解得，或．
所以，直线的方程是或．
例题分析5：已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．（ⅰ求椭圆的标准方程；（ⅱ若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
解： (i)由题意设椭圆的标准方程为，
ii)设，由得，.
以ab为直径的圆过椭圆的右顶点，，，这里用了韦达定理 ，解得，且满足。当时，，直线过定点与已知矛盾；当时，，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为。
作业回顾1)：在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．（）求的取值范围；（）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
解：（ⅰ由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得．
整理得①直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或．即的取值范围为．
ⅱ）设，则，由方程①，．
又．③而．所以与共线等价于，--这里用到了韦达定理 ，将②③代入上式，解得．由（ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．
弦长、面积的问题】这类问题比确明了，注意求面积的基本方法之一：面积分割，求面积的最值一般是建立有关变量k的函数关系，通过研究函数的最值求面积的最值(利用均值不等式很常见)。
弦长公式：
其中。例题分析1：已知椭圆两焦点分别为f1、f2，p是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过p作倾斜角互补的两条直线pa、pb分别交椭圆于a、b两点。
（ⅰ求p点坐标；（ⅱ求证直线ab的斜率为定值；（ⅲ求△pab面积的最大值。
解：（ⅰ由题可得，，设则，，∴点在曲线上，则，∴，从而，得。则点p的坐标为。
ⅱ）由题意知，两直线pa、pb的斜率必存在，设pb的斜率为，则bp的直线方程为：.由得，设，则，同理可得，则，.所以：ab的斜率为定值。
ⅲ）设ab的直线方程：.由，得，由，得p到ab的距离为，则。
当且仅当取等号∴三角形pab面积的最大值为。
例题分析2：已知椭圆c: =1(a＞b＞0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为。
(ⅰ求椭圆c的方程；(ⅱ设直线l与椭圆c交于a、b两点，坐标原点o到直线l的距离为，求△aob面积的最大值。
解：（ⅰ设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为．
ⅱ）设，．（1）当轴时，．（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为．由已知，得．
把代入椭圆方程，整理得，．
当且仅当，即时等号成立．当时，，综上所述．
当最大时，面积取最大值．
例题分析3：已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．（ⅰ设点的坐标为，证明：；
ⅱ）求四边形的面积的最小值．
解：（ⅰ椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，．（当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．设，，则。
因为与相交于点，且的斜率为，所以，．
四边形的面积．
当时，上式取等号．（ⅱ当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．
综上，四边形的面积的最小值为．
涉及到弦的垂直平分线问题】
这种问题主要是需要用到弦ab的垂直平分线l的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦ab的中点坐标m，结合弦ab与它的垂直平分线l的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线l的方程，然后解决相关问题，比如：求l在x轴y轴上的截距的取值范围，求l过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦ab的中点问题，比如：
弦与某定点d构成以d为顶点的等腰三角形（即d在ab的垂直平分线上）、曲线上存在两点ab关于直线m对称等等。
例题分析1：已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点a、b，则|ab|等于。
解：设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴，由弦长公式可求出．
例题分析2：已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为，离心率为．（ⅰ求椭圆的标准方程；（ⅱ已知点和直线：，线段是椭圆的一条弦且直线垂直平分弦，求实数的值．
解：（ⅰⅱ）由条件可得直线的方程为．于是，有，．设弦的中点为，则由中点坐标公式得，，由此及点在直线得．
例题分析3：如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点f，且与抛物线交于a、b两点。（ⅰ求抛物线的焦点f的坐标及准线l的方程；（ⅱ若a为锐角，作线段ab的垂直平分线m交x轴于点p，证明|fp|-|fp|cos2a为定值，并求此定值。
解：设抛物线的标准方程为，则，从而因此焦点的坐标为（2，0）.又准线方程的一般式为。从而所求准线l的方程为。
ⅱ）设，，直线ab的斜率为，则直线方程为。将此式代入，得，故。记直线m与ab的交点为，则，，故直线m的方程为。令y=0,得p的横坐标故。从而为定值。
例题分析3：小王同学在平面直角坐标系内画了一系列直线，和以原点o为圆心为半径的圆，他发现这些直线和对应同一t值的圆的交点形成的轨迹很熟悉，然后又取长度为2的线段ab（不与x轴垂直），使ab的两端点在此轨迹上滑动，并记线段ab的垂直平分线与x轴的交点．（1）求上述交点的轨迹方程；（2）求的取值范围．
解：（1）直线方程，圆的方程，消t即得轨迹e的方程为．
2）显然ab不与y轴垂直，设ab所在直线方程为。
代入得设，由韦达定理得。
又，a、b中点为，线段ab的垂直平分线为：．
令y=0得。
所以等号不成立，故的取值范围是．
例题分析4：设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。（ⅰ当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；（ⅱ当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围。
解：（ⅰ两点到抛物线的准线的距离相等，∵抛物线的准线是轴的平行线，，依题意不同时为0∴上述条件等价于∵∴上述条件等价于即当且仅当时，经过抛物线的焦点。
ⅱ）设在轴上的截距为，依题意得的方程为；过点的直线方程可写为，所以满足方程得为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式，即设的中点的坐标为，则，由，得，于是。
即得在轴上截距的取值范围为。
例题分析5：设、分别是椭圆的左、右焦点。 （若p是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； （是否存在过点a（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点c、d，使得|f2c|=|f2d|？
若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由。
解：易知，设p（x，y），则， ，即点p为椭圆短轴端点时，有最小值3；
当，即点p为椭圆长轴端点时，有最大值4
ⅱ）假设存在满足条件的直线l易知点a（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k，直线l的方程为
由方程组。依题意当时，设交点c，cd的中点为r，则。
又|f2c|=|f2d|
20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立， 所以不存在直线，使得|f2c|=|f2d|综上所述，不存在直线l，使得|f2c|=|f2d|
例题分析6：椭圆g：的两个焦点为f1、f2，短轴两端点b1、b2，已知f1、f2、b1、b2四点共圆，且点n（0，3）到椭圆上的点最远距离为（1）求此时椭圆g的方程；（2）设斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆g相交于不同的两点e、f，q为ef的中点，问e、f两点能否关于过点p（0，）、q的直线对称？
若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．
圆锥曲线综合高考实战篇圆锥曲线实用讲义
编者 孙斌。策划编辑 孙斌。封面设计 孙斌。前言。编者编写本书的初衷是以学生为中心，实用性优先，没有花里胡哨的冗杂。结论。本书筛选了2010 2018年的各地高考圆锥曲线大题并适当归类讲解，删。去了思维跨度大，计算量极高的题，总计一百余题。考虑到高中生学习繁忙，编者尽可能的将本书压缩到了一百余页，并...
圆锥曲线综合
1.2011 安徽卷 设 0，点a的坐标为 1,1 点b在抛物线y x2上运动，点q满足 经过点q与x轴垂直的直线交抛物线于点m，点p满足 求点p的轨迹方程 2.2011 天津卷 在平面直角坐标系xoy中，点p a，b a b 0 为动点，f1 f2分别为椭圆 1的左 右焦点 已知 f1pf2为等腰...
圆锥曲线综合
1 如图，已知抛物线的焦点为f，过f的直线交抛物线于m n两点，其准线与x轴交于k点。1 求证 kf平分 mkn 2 o为坐标原点，直线mo no分别交准线于点p q，求的最小值。2 已知抛物线与双曲线有公共焦点，点是曲线在第一象限的交点，且 求双曲线的方程 以双曲线的另一焦点为圆心的圆与直线相切，...