三、解答题(第三部分)
51、已知直线过椭圆e:的右焦点，且与e相交于两点。
1)设（为原点），求点的轨迹方程；
2)若直线的倾斜角为60°，求的值。
解：(1)设。
由，易得右焦点2分）
当直线轴时，直线的方程是：，根据对称性可知
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为。
代入e有； -5分）
于是 ; 消去参数得而也适上式，故r的轨迹方程是-（8分）
2)设椭圆另一个焦点为，在中设，则。
由余弦定理得
同理，在，设，则。
也由余弦定理得
于是12分）
52、双曲线的左、右焦点分别为f1、f2，o为坐标原点，点a在双曲线的右支上，点b在双曲线左准线上，（1）求双曲线的离心率e；
（2）若此双曲线过c（2，），求双曲线的方程；
（3）在（2）的条件下，d1、d2分别是双曲线的虚轴端点（d2在y轴正半轴上），过d1的直线l交双曲线m、n，的方程。
解：（1）四边形f2abo是平行四边形。
四边形f2abo是菱形。
由双曲线定义得。
双曲线方程为。
把点c代入有。
双曲线方程。
3）d1（0，－3），d2（0，3），设l的方程为。
则由。因l与与双曲线有两个交点，故所求直线l方程为。
53、直线ab过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点f，并与其相交于a、b两点，q是线段ab的中点，m是抛物线的准线与y轴的交点，o是坐标原点．
(1)求·的取值范围；
(2)过a、b两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于n点．
求证：·＝0，∥．
54、设圆满足：（1）截直线y=x所得弦长为2;（2）被直线y=－x分成的一段劣弧所在的扇形面积是圆面积的倍．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线x+3y=0的距离最小的圆的的方程．
解：设所求圆的圆心为p（a,b）,半径为r,则p到直线y=x、直线y=－x的距离分别为、．…2分）
由题设知圆p截直线y=－x所得劣弧所对圆心角为90°,圆p截直线y=－x所得弦长为r,故r2=（）2，即r2=（a+b）24分）
又圆p截直线y=x所得弦长为2，所以有r2=1+,从而有6分）
又点p到直线x+3y=0的距离为d=,所以10d2=|a+3b|2=a2+6ab+9b2=8b2+2≥2………8分）
当且仅当b=0时上式等号成立，此时5d2=1,从而d取得最小值，由此有a=±,r=．…10分）
于是所求圆的方程为（x－）2+y2=2或（x－）2+y2=2………12分）
55、已知椭圆＋y2＝l的左焦点为f，o为坐标原点．
( i )求过点o、f，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；
(ⅱ)设过点f的直线交椭圆于a、b两点，并且线段ab的中点在直线x＋y＝0上，求直线ab的方程．
56、)已知，点在轴上，点在的正半轴上，点在直线上，且。
1）当在轴上移动时，求点轨迹c；
2）若曲线的准线交轴于，过的直线交曲线于两点，又的中垂线交轴于点，求横坐标取值范围；
3）在（2）中，能否为正三角形。
解：(1)设得。
又由得 即4分。
2)由(1)知n（－1，0）设得： 由。由。
设。对。
ab的中点为。
ab的中点为。
令。即x0＞3.
57、已知a,b是抛物线上的两个动点，为坐标原点，非零向量满足．
ⅰ）求证：直线经过一定点；
ⅱ）当的中点到直线的距离的最小值为时，求的值．
解：,.设a,b两点的坐标为（），则。
1）经过a，b两点的直线方程为。
由，得。. 令，得，.
从而。 (否则，有一个为零向量), 代入①，得，始终经过定点。 …6分）
2）设ab中点的坐标为()，则。
又， ，即。……
ab的中点到直线的距离。
将①代入，得。
因为d的最小值为12分）
若用导数求切线的斜率为2的切点坐标，参考给分。）
58、已知半圆，动圆与此半圆相切且与轴相切。
1）求动圆圆心的轨迹方程。
2）是否存在斜率为的直线，它与（1）中所得轨迹由左到右顺次交于a、b、c、d四个不同的点，且满足|ad|=2|bc|？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由。
1）设动圆圆心，作⊥轴于点。
若两圆外切： ，则化简得：
3分。若两圆内切： ，则
5分。综上，动圆圆心的轨迹方程是。
及 ……6分。
其图象为两条抛物线位于轴上方的部分，如图所示。
2）假设直线存在，可设的方程为。
依题意得，它与曲线交于点，与曲线交于点。即。
即+=4－ 得………11分。
将其代入方程①得
因为曲线的横坐标范围为，所以这样的直线不存在。……13分。
59已知椭圆的左、右焦点分别是f1（－c，0）、f2（c，0），q是椭圆外的动点，满足点p是线段f1q与该椭圆的交点，点t**段f2q上，并且满足。
（ⅰ）设为点p的横坐标，证明；
（ⅱ）求点t的轨迹c的方程；
（ⅲ）试问：在点t的轨迹c上，是否存在点m，使△f1mf2的面积s=若存在，求∠f1mf2的正切值；若不存在，请说明理由．
解 （ⅰ设点p的坐标为（x,y）,由p（x,y）在椭圆上，得。
又由知，所以。
（ⅱ）当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上．
当且时，由，得．
又，所以t为线段f2q的中点．
在△qf1f2中，，所以有。
综上所述，点t的轨迹c的方程是
ⅲ） c上存在点m（）使s=的充要条件是。
由③得，由④得所以，当时，存在点m，使s=；
当时，不存在满足条件的点m．
当时，由，得。
总结点评】平面向量与椭圆的综合问题是《考试大纲》所。
强调的问题，应熟练掌握其解题技巧，一般地，在这类问题。
种，平面向量只起“背景”或“结论”的作用，几乎都不会。
在向量的知识上设置障碍，所考查的核心内容仍然是解析几。
何的基本方法和基本思想，比如本题（ⅰ）本质是焦半径公。
式，核心内容还是椭圆的第二定义的转化思想．（ⅱ由。
pt其实为线段qf2的垂直平分线”可联想到下面的题目：如右图，q为长轴为2a椭圆上一动点，qp是∠f1qf2的外角平分线，且f1p⊥qp，延长f2q，使f2q与f1p交于点m，则|qf1|=|qm|，所以点m的轨迹是以f2为圆心2a为半径的圆，进一步可得到p的轨迹是以o为圆心a为半径的圆．
60、)已知直线相交于a、b两点，m是线段ab上的一点，，且点m在直线上。
（ⅰ）求椭圆的离心率；
（ⅱ）若椭圆的焦点关于直线l的对称点在单位圆上，求椭圆的方程。
解：（ⅰ由知m是ab的中点，设a、b两点的坐标分别为。
由。m点的坐标为 4分。
又m点的直线l上：
7分。（ⅱ）由（ⅰ）知，不妨设椭圆的一个焦点坐标为关于直线l：
上的对称点为，则有 10分。
由已知。∴所求的椭圆的方程为 12分。
61、在△abc中，b是椭圆在x轴上方的顶点，是双曲线位于x轴下方的准线，当ac在直线上运动时。
1)求△abc外接圆的圆心p的轨迹e的方程；
2)过定点作互相垂直的直线，分别交轨迹e于m、n和r、q，求四边形mrnq面积的最小值。
解：（1）由椭圆方程及双曲线方程可得点直线方程是。
且在直线上运动。
可设。则的垂直平分线方程为。
的垂直平分线方程为。
p是△abc的外接圆圆心，点p的坐标满足方程①和②
由①和②联立消去得。
故圆心p的轨迹e的方程为。
2)由图可知，直线和的斜率存在且不为零，设的方程为，的方程为。
由得。△=直线与轨迹e交于两点。
设，则。同理可得： 四边形mrnq的面积。
当且仅当，即时，等号成立。
故四边形mnrq的面积的最小值为72。（13分）
62、已知f1、f2为双曲线c：的左、右焦点，o为坐标原点，p在双曲线的左支上，点m在右准线上，且满足：，（0）
（1）求此双曲线的离心率；
（2）若过点n（，）的双曲线c的虚轴端点分别为b1、b2（b1在y轴正半轴上），点a、b在双曲线上，且，，求双曲线c和直线ab的方程。
解：（1）法一：依题意四边形of1pm为菱形，设p（x，y）
则f1（－c，0），m（，y）
代入得。化简得e＝24分。
法二： of1pm为平行四边形，又（λ＞0）知p在的角平分线上。
四边形of1pm为菱形，且边长为，∴ 4分。
由第二定义知即又。
（2）∴双曲线c的方程为………8分。
∵∴过b2的直线交曲线c于a、b两点，且。
设直线ab：代入得。
设a（x1，y1），b（x2，y2）由
∴直线ab的方程为。
63、如图，已知为平面上的两个定点，为动点，，且，（是和的交点）
建立适当的平面直角坐标系求出点的轨迹方程；
若点的轨迹上存在两个不同的点，且线段的中垂线与（或的延长线）相交于一点，证明：（为的中点）
解：⑴如图1，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系。
由题设。而。
点是以为焦点、长轴长为的椭圆，故点的轨迹方程为6分）
如图2，设， ，且，即，又在轨迹上，即。
代入整理得：
（10分）
即。64、已知方向向量为的直线过点和椭圆的焦点，且椭圆的中心和椭圆的右准线上的点满足：。
求椭圆的方程；
设为椭圆上任一点，过焦点的弦分别为，设，求的值。
65、已知圆a：，圆b：，动圆p与圆a、圆b均外切，直线的方程为x＝a(a≤).
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2011广东高考专题训练 圆锥曲线。三 解答题 第三部分 51 已知直线过椭圆e 的右焦点，且与e相交于两点。1 设 为原点 求点的轨迹方程 2 若直线的倾斜角为60 求的值。解 1 设。由，易得右焦点2分 当直线轴时，直线的方程是 根据对称性可知 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为。代入e有 5...
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