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2013广东省普通高考数学复习资料之圆锥曲线。
一。知识清单。
一）椭圆。1. 椭圆的定义：
第一定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
第二定义：动点到定点的距离和它到定直线的距离之比等于常数，则动点的轨迹叫做椭圆。
定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数等于，则动点轨迹是线段。
若常数小于，则动点轨迹不存在。一般方程：.
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：
3. 焦半径公式：
椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在轴上时，设分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任一点，则，。
推导过程：由第二定义得（为点到左准线的距离），则；同理得。
简记为：左“＋”右“－”
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
若焦点在轴上，则为。有时为了运算方便，设。
共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是我们称此方程为共离心率的椭圆系方程。
若p是椭圆：上的点。为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）. 若是双曲线，则面积为。
二）双曲线。
1． 定义。
1）第一定义：平面内到两定点f1、f2的距离之差的绝对值等于定长2a（小于|f1f2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：||pf1|-|pf2||=2a（2a<|f1f2|）是双曲线；
若2a=|f1f2|，轨迹是以f1、f2为端点的射线；2a>|f1f2|时无轨迹。
设m是双曲线上任意一点，若m点在双曲线右边一支上，则|mf1|>|mf2|，|mf1|-|mf2|=2a；若m在双曲线的左支上，则|mf1|<|mf2|，|mf1|-|mf2|=-2a，故|mf1|-|mf2|=±2a，这是与椭圆不同的地方。
2）第二定义：平面内动点到定点f的距离与到定直线l的距离之比是常数e（e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线l叫相应的准线。
2． 双曲线的方程及几何性质。
焦半径公式：对于双曲线方程。
分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）
构成满足 等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率。
共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线。与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.
三）抛物线。
抛物线定义的理解。
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线。
注： 定义可归结为“一动三定”：一个动点设为；一定点（即焦点）；一定直线（即准线）；一定值1（即动点到定点的距离与它到定直线的距离之比1）
定义中的隐含条件：焦点不在准线上。若在上，抛物线退化为过且垂直于的一条直线。
圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点和定直线的距离之比为常数的点的轨迹，当时，表示椭圆；当时，表示双曲线；当时，表示抛物线。
抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。
抛物线标准方程。
1．抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。
2．四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式为：，，其中：
参数的几何意义：焦参数是焦点到准线的距离，所以恒为正值；值越大，张口越大；等于焦点到抛物线顶点的距离。
标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴为轴时，方程中的一次项变量就是， 若的一次项前符号为正，则开口向右，若的一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为轴时，方程中的一次项变量就是， 当的一次项前符号为正，则开口向上，若的一次项前符号为负，则开口向下。
求抛物线标准方程。
求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程。
待定系数法：因抛物线标准方程有四种形式，若能确定抛物线的形式，需一个条件就能解出待定系数，因此要做到“先定位，再定值”。
注：当求顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线时，若不知开口方向，可设为或，这样可避免讨论。
抛物线轨迹法：若由已知得抛物线是标准形式，可直接设其标准式；若不确定是否是标准式，由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法求之。
抛物线的简单几何性质。
注： 焦点的非零坐标是一次项系数的；
对于不同形式的抛物线，位置不同，其性质也有所不同，应弄清它们的异同点，数形结合，掌握方程与有关特征量，有关性质间的对应关系，从整体上认识抛物线及其性质。
注：①顶点。
则焦点半径；则焦点半径为。
通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的。
（或）的参数方程为（或）（为参数）.
直线与圆锥曲线有关问题。
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断：直线与圆锥曲线方程联立方程组，消去或化得形如（*）的式子：
当时，（*式方程只有一解，即直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线不是相切，而是与抛物线对称轴平行或重合；
当时，若△＞0（*）式方程有两组不同的实数解直线与抛物线相交；
若△=0（*）式方程有两组相同的实数解直线与抛物线相切；
若△＜0（*）式方程无实数解直线与抛物线相离。
2．直线与圆锥曲线相交的弦长问题。
弦长公式：设直线交圆锥曲线于，则。
或。若直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时，借助于焦半径公式处理：
抛物线上一点的焦半径长是，抛物线上一点的焦半径长是。
抛物线焦点弦的几个常用结论。
设为过抛物线焦点的弦，设，直线的倾斜角为，则。
以为直径的圆与准线相切；
弦两端点与顶点所成三角形的面积；
焦点对、在准线上射影的张角为900；
二。例题解析。
例1、(1)抛物线c:y2=4x上一点p到点a(3,4)与到准线的距离和最小，则点 p的坐标为。
(2)抛物线c: y2=4x上一点q到点b(4,1)与到焦点f的距离和最小，则点q的坐标为。
分析：（1）a在抛物线外，如图，连pf，则，因而易发现，当a、p、f三点共线时，距离和最小。
2）b在抛物线内，如图，作qr⊥l交于r，则当b、q、r三点共线时，距离和最小。
解：（1）（2，）
连pf，当a、p、f三点共线时，最小，此时af的方程为即 y=2 (x-1),代入y2=4x得p(2,2)，（注：另一交点为()，它为直线af与抛物线的另一交点，舍去）
过q作qr⊥l交于r，当b、q、r三点共线时，最小，此时q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=，∴q()
例2 过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆c相交于a、b两点，直线y=x过线段ab的中点，同时椭圆c上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆c的方程。
技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将a、b两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线ab斜率的等式。解，用韦达定理。
解：由e=,从而a2=2b2,c=b.
设椭圆c的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),将l的方程代入c的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－.
直线l：y=x过ab的中点(),则，解得k=0，或k=
若k=0,则l的方程为y=0,焦点f(c,0)关于直线l的对称点就是f点本身，不能在椭圆c上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=.
所求椭圆c的方程为=1,l的方程为y=－x+1.
例3已知点m(-2，0)，n(2,0)，动点p满足条件。记动点的轨迹为w.
ⅰ）求w的方程；
ⅱ）若a，b是w上的不同两点，o是坐标原点，求的最小值。
解：（ⅰ依题意，点p的轨迹是以m，n为焦点的双曲线的右支，所求方程为： （x0）
ⅱ）当直线ab的斜率不存在时，设直线ab的方程为x＝x0，此时a（x0，），b（x0，－）2
当直线ab的斜率存在时，设直线ab的方程为y＝kx＋b，代入双曲线方程中，得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2＝0
依题意可知方程1有两个不相等的正数根，设a(x1,y1),b(x2,y2)，则。
2019广东高考专题训练 圆锥曲线
2011广东高考专题训练 圆锥曲线。三 解答题 第三部分 51 已知直线过椭圆e 的右焦点，且与e相交于两点。1 设 为原点 求点的轨迹方程 2 若直线的倾斜角为60 求的值。解 1 设。由，易得右焦点2分 当直线轴时，直线的方程是 根据对称性可知 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为。代入e有 5...
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三 解答题 第三部分 51 已知直线过椭圆e 的右焦点，且与e相交于两点。1 设 为原点 求点的轨迹方程 2 若直线的倾斜角为60 求的值。解 1 设。由，易得右焦点2分 当直线轴时，直线的方程是 根据对称性可知 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为。代入e有 5分 于是 消去参数得而也适上式，故r...
高考圆锥曲线
1.2015高考新课标1，文5 已知椭圆e的中心为坐标原点，离心率为，e的右焦点与抛物线的焦点重合，是c的准线与e的两个交点，则 a b c d 答案 b2.2015高考重庆，文9 设双曲线的右焦点是f，左 右顶点分别是，过f做的垂线与双曲线交于b，c两点，若，则双曲线的渐近线的斜率为 abcd 答...