高考全国试题分类解析（圆锥曲线）
一、选择题：
1重庆卷) 若动点(x,y)在曲线(b>0)上变化，则x2 2y的最大值为(a )
(a)； b)； c)； d) 2b；
2. (浙江)函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( b )
a) (b) (c) (d)1
3. （天津卷）设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为c ）
a． b． c． d．
5. （上海）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于a、b两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ b ）
a．有且仅有一条 b．有且仅有两条 c．有无穷多条 d．不存在。
6. （山东卷）设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为a、b、，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为（ b ）
a）1b）2c）3 （d）4
7 (全国卷ⅰ)已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为（a ）
abcd）9.(全国卷ii)已知双曲线的焦点为、，点在双曲线上且轴，则到直线的距离为(c )
a) (b) (c) (d)
10. 抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为(d )
a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5
11. (全国卷iii)设椭圆的两个焦点分别为f1、、f2，过f2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点p，若△f1pf2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（d）
abc） （d）
12.（辽宁卷）已知双曲线的中心在原点，离心率为。若它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是b ）
a．2+ b． c． d．21
14.（江苏卷）(11)点p(-3,1)在椭圆的左准线上。过点p且方向为a=(2,-5)的光线，经直线=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为(a )
( abcd )
15.（湖南卷）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为f，右准线与一条渐近线交于点a，△oaf的面积为（o为原点），则两条渐近线的夹角为d ）
a．30 b．45 c．60 d．90
17. （湖北卷）双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为a ）
a． b． c． d．
20. （广东卷）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m=(b)
22.（福建卷）已知f1、f2是双曲线的两焦点，以线段f1f2为边作正三角形mf1f2，若边mf1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是d ）
a． b． c． d．
二、填空题：
1．（江西卷）以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设a、b为两个定点，k为非零常数，，则动点p的轨迹为双曲线；
②过定圆c上一定点a作圆的动点弦ab，o为坐标原点，若则动点p的轨迹为椭圆；
③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线有相同的焦点。
其中真命题的序号为写出所有真命题的序号）
2. (重庆卷)已知，b是圆f： (f为圆心)上一动点，线段ab的垂直平分线交bf于p，则动点p的轨迹方程为。
3. (浙江) 过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于m、n两点，以mn为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于__2___
4. （上海）4．直角坐标平面xoy中，若定点a(1,2)与动点p(x,y)满足=4。则点p的轨迹方程是 x+2y-4=0
三、解答题：
1. （江西卷）如图，m是抛物线上y2=x上的一点，动弦me、mf分别交x轴于a、b两点，且ma=mb.
（1）若m为定点，证明：直线ef的斜率为定值；
（2）若m为动点，且∠emf=90°，求△emf的重心g的轨迹解；
1）设m（y,y0），直线me的斜率为k(l>0)
则直线mf的斜率为－k，方程为。
由，消。解得。
(定值)所以直线ef的斜率为定值。
2）直线me的方程为。
由得。同理可得。
设重心g（x, y），则有。
消去参数得。
2．（江西卷）如图，设抛物线的焦点为f，动点p在直线上运动，过p作抛物线c的两条切线pa、pb，且与抛物线c分别相切于a、b两点。
1）求△apb的重心g的轨迹方程。
2）证明∠pfa=∠pfb.
解：（1）设切点a、b坐标分别为，切线ap的方程为：
切线bp的方程为：
解得p点的坐标为：
所以△apb的重心g的坐标为，所以，由点p在直线l上运动，从而得到重心g的轨迹方程为：
（2）方法1：因为。
由于p点在抛物线外，则。
同理有。∠afp=∠pfb.
方法2：①当所以p点坐标为，则p点到直线af的距离为：
即。所以p点到直线bf的距离为：
所以d1=d2，即得∠afp=∠pfb.
当时，直线af的方程：
直线bf的方程：
所以p点到直线af的距离为：
同理可得到p点到直线bf的距离，因此由d1=d2，可得到∠afp=∠pfb.
5. (浙江) 17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点f1，f2在x轴上，长轴a1a2的长为4，左准线l与x轴的交点为m，|ma1|∶|a1f1|＝2∶1．
(ⅰ)求椭圆的方程；
(ⅱ)若直线l1：x＝m(|m|＞1)，p为l1上的动点，使∠f1pf2最大的点p记为q，求点q的坐标(用m表示)．
解：（ｉ设椭圆方程为（），半焦距为c, 则。
,由题意，得 ,解得。
故椭圆方程为。
ii）设p(
当时， 当时，
只需求的最大值即可。
直线的斜率，直线的斜率。
当且仅当=时，最大，8. （上海）点a、b分别是椭圆长轴的左、右端点，点f是椭圆的右焦点，点p在椭圆上，且位于轴上方，。
1）求点p的坐标；
2）设m是椭圆长轴ab上的一点，m到直线ap的距离等于，求椭圆上的点到点m的距离的最小值。
[解]（1）由已知可得点a(－6,0),f(0,4)
设点p(,)则=,=由已知可得。
则2+9－18=0, =或=－6.
由于》0,只能=,于是=.
∴点p的坐标是(,)
(2) 直线ap的方程是－+6=0.
设点m(,0),则m到直线ap的距离是。
于是=,又－6≤≤6,解得=2.
椭圆上的点(,)到点m的距离有，由于－6≤≤6, ∴当=时，d取得最小值。
9. （山东卷）已知动圆过定点，且与直线相切，其中。
i）求动圆圆心的轨迹的方程；
ii）设a、b是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标。
解：（i）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；
ii）如图，设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知①
1）当时，即时，所以，所以由①知：所以因此直线的方程可表示为，即所以直线恒过定点。
2）当时，由，得==
将①式代入上式整理化简可得：，所以，此时，直线的方程可表示为即。
所以直线恒过定点。
所以由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点。
11. (全国卷ⅰ) 已知椭圆的中心为坐标原点o，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点f的直线交椭圆于a、b两点，与共线。
（1）求椭圆的离心率；
（2）设m为椭圆上任意一点，且，证明为定值。
解：设椭圆方程为。
则直线ab的方程为。
化简得。令则。
共线，得。又。
即，∴ 故离心率为。
ii）证明：由（i）知，所以椭圆可化为。
设，由已知得。
在椭圆上，
即 ①由（i）知。
又又，代入①得
故为定值，定值为1
12. (全国卷ii)、、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形的面积的最小值和最大值．
解：如图，由条件知mn和pq是椭圆的两条弦，相交于焦点f(0,1)，且pq⊥mn，直线pq、nm中至少有一条存在斜率，不妨设pq的斜率为k，又pq过点f(0,1)，故pq的方程为=+1
将此式代入椭圆方程得(2+)+2－1=0
设p、q两点的坐标分别为(，)则。
从而。亦即。
1)当≠0时，mn的斜率为－，同上可推得
故四边形面积。令=得。
当=±1时=2，s=且s是以为自变量的增函数。
当=0时，mn为椭圆长轴，|mn|=2，|pq|=。s=|pq||mn|=2
综合①②知四边形pmqn的最大值为2，最小值为。
13．(全国卷iii) 设两点在抛物线上，是ab的垂直平分线，（ⅰ当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点f？证明你的结论；
（ⅱ）当时，求直线的方程。
解：（ⅰ抛物线，即，焦点为1分。
1）直线的斜率不存在时，显然有3分。
2）直线的斜率存在时，设为k，截距为b
即直线：y=kx+b 由已知得：
………5分
………7分
即的斜率存在时，不可能经过焦点8分。
所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点f9分。
ⅱ）当时，直线的斜率显然存在，设为：y=kx+b10分。
则由（ⅰ）得：
11分。13分。
所以直线的方程为。
14、(全国卷iii)
设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。
ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；
ⅱ）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围。
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