1．（上海）已知抛物线c：上任意一点到焦点f的距离比到y轴的距离大1.
1）求抛物线c的方程；
2）若过焦点f的直线交抛物线于m、n两点，m在第一象限，且|mf|=2|nf|，求直线mn的方程；
3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．
例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”．求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”．
现有正确命题：过点的直线交抛物线c：于p、q两点，设点p关于x轴的对称点为r，则直线rq必过焦点f.
试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。
答案：解：（1）
2）设（t>0），则，f(1,0).因为m、f、n共线，则有，所以，解得，所以，因而，直线mn的方程是。
3）“逆向问题”一：
已知抛物线c：的焦点为f，过点f的直线交抛物线c于p、q两点，设点p关于x轴的对称点为r，则直线rq必过定点。
证明：设过f的直线为y=k(x)，，则。
由得，所以， ，所以直线rq必过焦点a.
过点的直线交抛物线c于p、q两点，fp与抛物线交于另一点r，则rq垂直于x轴。
已知抛物线c：，过点b(m,0 )（m>0）的直线交抛物线c于p、q两点，设点p关于x轴的对称点为r，则直线rq必过定点a(-m,0).
“逆向问题”二：已知椭圆c：的焦点为f1(-c,0)，f2(c,0)，过f2的直线交椭圆c于p、q两点，设点p关于x轴的对称点为r，则直线rq必过定点。
2. （江苏卷）已知，记点p的轨迹为e.
1）求轨迹e的方程；
2）若直线l过点f2且与轨迹e交于p、q两点。无论直线l绕点f2怎样转动，在x轴上总存在定点，使恒成立，求实数m的值。
解：（1）由知，点p的轨迹e是以f1、f2为焦点的双曲线右支，由，故轨迹e的方程为。
（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立消y得，解得k2 >3 ，故得对任意的。
恒成立，∴当m =－1时，mp⊥mq.
当直线l的斜率不存在时，由知结论也成立，综上，当m =－1时，mp⊥mq.
3. （江苏）点p在以为焦点的双曲线上，已知，，o为坐标原点．
ⅰ）求双曲线的离心率；
ⅱ）过点p作直线分别与双曲线渐近线相交于两点，且，，求双曲线e的方程；
解：（i）ii）渐近线为设。
代入化简。4. （重庆 ）已知ab是椭圆的一条弦，m(2,1)是ab的中点，以m为焦点，以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线ab交于n.
(1)设双曲线离心率为，试将表示为椭圆的半长轴长的函数；
(2)当椭圆的率心率是双曲线离心率的倒数时，求椭圆的方程；
(3)求出椭圆长轴长的取值范围。
答案：(1)设则相减得。
则即故。由双曲线定义知离心率。
(2)由上知椭圆离心率为。
故则或。当时，椭圆方程为。
当时，椭圆方程为。而此时在椭圆外。 故舍去。
则所求椭圆方程为。
(3)由题设知。椭圆。得有。故。
又由(2)知即。
故的范围是。
则长轴的范围是。
5. (广东) 已知椭圆的中心为原点，点是它的一个焦点，直线过点与椭圆交于两点，且当直线垂直于轴时，．
ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ）是否存在直线，使得在椭圆的右准线上可以找到一点，满足为正三角形．如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．
答案：解：（ⅰ设椭圆的方程为：，则．
当垂直于轴时，两点坐标分别是和，则，即．
由①，②消去，得．
或（舍去）．
当时，． 椭圆的方程为。
ⅱ）设存在满足条件的直线．
1)当直线垂直于轴时，由（ⅰ）的解答可知，焦点到右准线的距离为，此时不满足．
因此，当直线垂直于轴时不满足条件。
2）当直线不垂直于轴时，设直线的斜率为，则直线的方程为．
由，设两点的坐标分别为和，则。
又设的中点为，则．
当为正三角形时，直线的斜率为．
当为正三角形时，，即＝，解得。
满足条件的直线存在， 方程为或．
6（浙江） 在平面直角坐标系内有两个定点f1、f2和动点p，f1、f2的坐标分别为f1（－1，0），f2（1，0），动点p满足动点p的轨迹为曲线c，曲线c关于直线y=x的对称曲线为曲线c′，直线与曲线c′交于a、b两点，o是c′的对称中心，△abo的面积为。
（ⅰ）求曲线c的方程；
（ⅱ）求m的值。
解：（1）设p点坐标为（x,y）则。
（2）曲线c是以（－3，0）为圆心，为半径的圆，曲线c′也应该是一个半径为的圆，点（－3，0）关于直线y=x的对称点的坐标为（0，－3），所以曲线c′的方程为。
又o是c′对称中心，则o（0，－3）到直线的距离d为。
所以，.
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