2024年高考全国试题分类解析（圆锥曲线）
填空题：1．（江西卷）以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设a、b为两个定点，k为非零常数，，则动点p的轨迹为双曲线；
②过定圆c上一定点a作圆的动点弦ab，o为坐标原点，若则动点p的轨迹为椭圆；
③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线有相同的焦点。
其中真命题的序号为写出所有真命题的序号）
2. (重庆卷)已知，b是圆f： (f为圆心)上一动点，线段ab的垂直平分线交bf于p，则动点p的轨迹方程为。
3. (浙江) 过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于m、n两点，以mn为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于。
4. （上海）4．直角坐标平面xoy中，若定点a(1,2)与动点p(x,y)满足=4。则点p的轨迹方程是。
5. （上海）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2,0),则椭圆的标准方程是
6. （上海）若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是。
7. （山东卷）设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于p、两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率。
解答题：1. （江西卷）如图，m是抛物线上y2=x上的一点，动弦me、mf分别交x轴于a、b两点，且ma=mb.
（1）若m为定点，证明：直线ef的斜率为定值；
（2）若m为动点，且∠emf=90°，求△emf的重心g的轨迹解；
2．（江西卷）如图，设抛物线的焦点为f，动点p在直线上运动，过p作抛物线c的两条切线pa、pb，且与抛物线c分别相切于a、b两点。
1）求△apb的重心g的轨迹方程。
2）证明∠pfa=∠pfb.
3. (重庆卷) 已知中心在原点的双曲线c的右焦点为(2,0)，右顶点为。
(1) 求双曲线c的方程；
(2) 若直线l：与双曲线c恒有两个不同的交点a和b，且(其中o为原点)，求k的取值范围。
4. (重庆卷) 已知椭圆c1的方程为，双曲线c2的左、右焦点分别为c1的左、右顶点，而c2的左、右顶点分别是c1的左、右焦点。
(1) 求双曲线c2的方程；
(2) 若直线l：与椭圆c1及双曲线c2恒有两个不同的交点，且l与c2的两个交点a和b满足(其中o为原点)，求k的取值范围。
5. (浙江) 17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点f1，f2在x轴上，长轴a1a2的长为4，左准线l与x轴的交点为m，|ma1|∶|a1f1|＝2∶1．
(ⅰ)求椭圆的方程；
(ⅱ)若直线l1：x＝m(|m|＞1)，p为l1上的动点，使∠f1pf2最大的点p记为q，求点q的坐标(用m表示)．
6. （天津卷）抛物线c的方程为，过抛物线c上一点p(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线c于a(x1,y1)b(x2,y2)两点(p,a,b三点互不相同)，且满足。
ⅰ）求抛物线c的焦点坐标和准线方程；
ⅱ）设直线ab上一点m，满足，证明线段pm的中点在y轴上；
ⅲ）当=1时，若点p的坐标为（1，-1），求∠pab为钝角时点a的纵坐标的取值范围。
7. （上海）本题共有3个小题，第1小题满分4分， 第2小题满分6分， 第3小题满分6分。
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为f,a是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，a到抛物线准线的距离等于5,过a作ab垂直于y轴，垂足为b,ob的中点为m.
(1)求抛物线方程；
(2)过m作mn⊥fa, 垂足为n,求点n的坐标；
(3)以m为圆心，mb为半径作圆m.当k(m,0)是x轴上一动点时，丫讨论直线ak与圆m的位置关系。
8. （上海）点a、b分别是椭圆长轴的左、右端点，点f是椭圆的右焦点，点p在椭圆上，且位于轴上方，。
1）求点p的坐标；
2）设m是椭圆长轴ab上的一点，m到直线ap的距离等于，求椭圆上的点到点m的距离的最小值。
9. （山东卷）已知动圆过定点，且与直线相切，其中。
i）求动圆圆心的轨迹的方程；
ii）设a、b是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标。
10. (全国卷ⅰ)）已知椭圆的中心为坐标原点o，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点f的直线交椭圆于a、b两点，与共线。
ⅰ）求椭圆的离心率；
ⅱ）设m为椭圆上任意一点，且，证明为定值。
11. (全国卷ⅰ) 已知椭圆的中心为坐标原点o，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点f的直线交椭圆于a、b两点，与共线。
（1）求椭圆的离心率；
（2）设m为椭圆上任意一点，且，证明为定值。
12. (全国卷ii)、、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形的面积的最小值和最大值．
13．(全国卷iii) 设两点在抛物线上，是ab的垂直平分线，（ⅰ当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点f？证明你的结论；
（ⅱ）当时，求直线的方程。
14、(全国卷iii)
设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。
ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；
ⅱ）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围。
15.（辽宁卷）已知椭圆的左、右焦点分别是f1（－c，0）、f2（c，0），q是椭圆外的动点，满足点p是线段f1q与该椭圆的交点，点t**段f2q上，并且满足。
（ⅰ）设为点p的横坐标，证明；
（ⅱ）求点t的轨迹c的方程；
（ⅲ）试问：在点t的轨迹c上，是否存在点m，使△f1mf2的面积s=若存在，求∠f1mf2
的正切值；若不存在，请说明理由。
16．（湖南卷）已知椭圆c：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为f1、f2，离心率为e. 直线l：
y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点a、b，m是直线l与椭圆c的一个公共点，p是点f1关于直线l的对称点，设＝λ.
（ⅰ）证明：λ＝1－e2；
（ⅱ）若，△pf1f2的周长为6；写出椭圆c的方程；
（ⅲ）确定λ的值，使得△pf1f2是等腰三角形。
17．（湖南卷）已知椭圆c：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为f1、f2，离心率为e. 直线l：
y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点a、b，m是直线l与椭圆c的一个公共点，p是点f1关于直线l的对称点，设＝λ.
（ⅰ）证明：λ＝1－e2；
（ⅱ）确定λ的值，使得△pf1f2是等腰三角形。
18.．（湖北卷）设a、b是椭圆上的两点，点n（1，3）是线段ab的中点，线段ab的垂直平分线与椭圆相交于c、d两点。
（ⅰ）确定的取值范围，并求直线ab的方程；
ⅱ）试判断是否存在这样的，使得a、b、c、d四点在同一个圆上？并说明理由。
19. （福建卷）已知方向向量为的直线l过点（）和椭圆的焦点，且椭圆c的中心关于直线l的对称点在椭圆c的右准线上。
ⅰ）求椭圆c的方程。
ⅱ）是否存在过点e（－2，0）的直线m交椭圆c于点m、n，满足cot
∠mon≠0（o为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由。
20.（北京卷）如图，直线 l1：y＝kx（k>0）与直线l2：y＝－kx之间的阴影区域（不含边界）记为w，其左半部分记为w1，右半部分记为w2．
）分别用不等式组表示w1和w2；
）若区域w中的动点p(x，y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点p的轨迹c的方程；
）设不过原点o的直线l与（）中的曲线c相交于m1，m2两点，且与l1，l2分别交于m3，m4两点．求证△om1m2的重心与△om3m4的重心重合．
21）（广东卷）在平面直角坐标系xoy中，抛物线上异于坐标原点ｏ的两不同动点ａ、ｂ满足（如图４所示）．
ⅰ）求得重心ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
填空题1.③④2. 3.2 5. 6. 7.
解答题。1)（1）设m（y,y0），直线me的斜率为k(l>0) 则直线mf的斜率为－k，方程为。
由，消解得。
(定值) 所以直线ef的斜率为定值。
2）直线me的方程为。
由得同理可得。
设重心g（x, y），则有。
消去参数得。
2)解：（1）设切点a、b坐标分别为，切线ap的方程为： 切线bp的方程为：
解得p点的坐标为：
所以△apb的重心g的坐标为，所以，由点p在直线l上运动，从而得到重心g的轨迹方程为：
（2）方法1：因为。
由于p点在抛物线外，则。
同理有。∠afp=∠pfb.
方法2：①当所以p点坐标为，则p点到直线af的距离为：
即。所以p点到直线bf的距离为：
所以d1=d2，即得∠afp=∠pfb.
当时，直线af的方程：
直线bf的方程：
所以p点到直线af的距离为：
同理可得到p点到直线bf的距离，因此由d1=d2，可得到∠afp=∠pfb.
3)解：（ⅰ设双曲线方程为
由已知得故双曲线c的方程为。
ⅱ）将。由直线l与双曲线交于不同的两点得。
即 ① 设，则。
而。于是 ②
由①、②得故k的取值范围为。
4)解：（ⅰ设双曲线c2的方程为，则。
故c2的方程为。
ii）将。由直线l与椭圆c1恒有两个不同的交点得。
即。由直线l与双曲线c2恒有两个不同的交点a，b得。
解此不等式得 ③
由①、②得。
故k的取值范围为。
圆锥曲线高考题
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