圆锥曲线综合

1.[2011·安徽卷]设λ>0，点a的坐标为(1,1)，点b在抛物线y＝x2上运动，点q满足＝λ，经过点q与x轴垂直的直线交抛物线于点m，点p满足＝λ，求点p的轨迹方程．

2. [2011·天津卷] 在平面直角坐标系xoy中，点p(a，b)(a>b>0)为动点，f1、f2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点．已知△f1pf2为等腰三角形．

1)求椭圆的离心率e；

2)设直线pf2与椭圆相交于a，b两点，m是直线pf2上的点，满足·＝－2，求点m的轨迹方程．

3.已知椭圆c：＋＝1经过点(0，)，离心率为，直线l经过椭圆c的右焦点f交椭圆于a、b两点，点a、f、b在直线x＝4上的射影依次为点d、k、e.

1)求椭圆c的方程；

2)若直线l交y轴于点m，且＝λ，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由；

3)连接ae、bd，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线ae与bd是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．

4.已知椭圆c：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左、右焦点分别为f1、f2，点p(2，)，点f2**段pf1的中垂线上．

1)求椭圆c的方程；

2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆c交于m、n两点，直线f2m与f2n的倾斜角分别为α，β且α＋β试问直线l是否过定点？若过，求该定点的坐标．

5. 已知点p(4,4)，圆c：(x－m)2＋y2＝5(m<3)与椭圆e：＋＝1(a>b>0)有一个公共点a(3,1)，f1、f2分别是椭圆的左、右焦点，直线pf1与圆c相切．

1)求m的值与椭圆e的方程；

2)设q为椭圆e上的一个动点，求·的取值范围．

6. [2011·北京卷] 已知椭圆g：＋y2＝1，过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆g于a，b两点．

1)求椭圆g的焦点坐标和离心率；

2)将|ab|表示为m的函数，并求|ab|的最大值。

7. 已知椭圆c：＋＝1(a>b>0)经过点(0,1)，离心率e＝.

1)求椭圆c的方程；

2)在椭圆c上任取不同两点a，b，点a关于x轴的对称点为a′，当a，b变化时，如果直线ab经过x轴上的定点(1,0)，问直线a′b是否也经过x轴上的一个定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，说明理由．

1. 由＝λ知q，m，p三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设p(x，y)，q(x，y0)，m(x，x2)，则x2－y0＝λ(y－x2)，即y0＝(1＋λ)x2－λy.①

再设b(x1，y1)，由＝λ，即(x－x1，y0－y1)＝λ1－x，1－y0)，解得。

将①式代入②式，消去y0，得。

又点b在抛物线y＝x2上，所以y1＝x，1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝1＋λ)x－λ]2，1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝1＋λ)2x2－2λ(1＋λ)x＋λ2，2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)0.

因λ＞0，两边同除以λ(1＋λ)得。

2x－y－1＝0.

故所求点p的轨迹方程为y＝2x－1

2. (1)设f1(－c,0)，f2(c,0)(c>0)．

由题意，可得|pf2|＝|f1f2|，即＝2c.整理得22＋－1＝0.

得＝－1(舍)，或＝.所以e＝.

2)由(1)知a＝2c，b＝c.可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线pf2方程为y＝(x－c)．

a，b两点的坐标满足方程组。

消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝c，得方程组的解。

不妨设a，b(0，－ c)．设点m的坐标为(x，y)，则＝，＝

由y＝(x－c)，得c＝x－y.

于是＝，＝x， x)．

由·＝－2，即·x＋·x＝－2，化简得18x2－16xy－15＝0.

将y＝代入c＝x－y，得c＝>0.所以x>0.

因此，点m的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)．

3. (1)依题意得b＝，e＝＝，a2＝b2＋c2，a＝2，c＝1，∴椭圆c的方程为＋＝1.

2)因直线l与y轴相交，故斜率存在，设直线l方程为：y＝k(x－1)，求得l与y轴交于m(0，－k)，又f坐标为(1,0)，设l交椭圆于a(x1，y1)，b(x2，y2)，由消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，x1＋x2＝，x1x2＝，又由＝λ，x1，y1＋k)＝λ1－x1，－y1)，∴同理μ＝，所以当直线l的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－.

3)当直线l斜率不存在时，直线l⊥x轴，则abed为矩形，由对称性知，ae与bd相交于fk的中点n，猜想：当直线l的倾斜角变化时，ae与bd相交于定点n，证明：由(2)知a(x1，y1)，b(x2，y2)，∴d(4，y1)，e(4，y2)，当直线l的倾斜角变化时，首先证直线ae过定点，lae：

y－y2＝(x－4)，当x＝时，y＝y2＋·－

点n在直线lae上．同理可证，点n也在直线lbd上．

当直线l的倾斜角变化时，直线ae与bd相交于定点。

4. (1)由椭圆c的离心率e＝，得＝，其中c＝，椭圆c的左、右焦点分别为f1(－c,0)、f2(c,0)．

又点f2**段pf1的中垂线上，|f1f2|＝|pf2|，∴2c)2＝()2＋(2－c)2，解得c＝1，∴a2＝2，b2＝1，椭圆的方程为＋y2＝1.

2)由题意直线mn的方程为y＝kx＋m，由消去y得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.

设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，且kf2m＝，kf2n＝，由已知α＋β得kf1m＋kf2n＝0，即＋＝0.

化简，得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，2k·－－2m＝0，整理得m＝－2k.

直线mn的方程为y＝k(x－2)，因此直线mn过定点，该定点的坐标为(2,0)

5. (1)点a坐标代入圆c方程，得(3－m)2＋1＝5.

m＜3，∴m＝1.

圆c：(x－1)2＋y2＝5.

设直线pf1的斜率为k，则pf1：y＝k(x－4)＋4，即kx－y－4k＋4＝0.

直线pf1与圆c相切，∴＝

解得k＝，或k＝.

当k＝时，直线pf1与x轴的交点横坐标为，不合题意舍去．

当k＝时，直线pf1与x轴的交点横坐标为－4，c＝椭圆e的方程为＋＝1.

2)＝(1,3)，设q(x，y)，＝x－3，y－1)，＝x－3)＋3(y－1)＝x＋3y－6.

＋＝1，即x2＋(3y)2＝18，而x2＋(3y)2≥2|x|·|3y|，∴18≤6xy≤18.

则(x＋3y)2＝x2＋(3y)2＋6xy＝18＋6xy的取值范围是[0,36]．

x＋3y的取值范围是[－6,6]．

·＝x＋3y－6的取值范围是[－12,0]．

6. (1)由已知得a＝2，b＝1.

所以c＝＝.

所以椭圆g的焦点坐标为(－，0)，(0)．

离心率为e＝＝.

2)由题意知，|m|≥1.

当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点a，b的坐标分别为，，此时|ab|＝.

当m＝－1时，同理可知|ab|＝.

当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)

由得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.

设a，b两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，又由l与圆x2＋y2＝1相切，得＝1，即m2k2＝k2＋1，所以|ab|＝＝

由于当m＝±1时，|ab|＝.

所以|ab|＝，m∈(－1 ]∪1，＋∞

因为|ab|＝＝2，且当m＝±时，|ab|＝2.

所以|ab|的最大值为2.

7. (1)依题意可得解得a＝2，b＝1.

所以椭圆c的方程是＋y2＝1.

(2)设直线ab：x＝my＋1，由。

得(my＋1)2＋4y2＝4，即(m2＋4)y2＋2my－3＝0.

记a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a′(x1，－y1)，且y1＋y2＝－，y1y2＝－，特别地，令y1＝－1，则x1＝0，m＝1，y2＝，此时a′(0,1)，b，直线a′b：x＋4y－4＝0与x轴的交点为s(4,0)，若直线a′b与x轴交于一个定点，则定点只能为s(4,0)．

以下证明对于任意的m，直线a′b与x轴交于定点s(4,0)．

事实上，当m≠0时，经过点a′(x1，－y1)，b(x2，y2)的直线方程为＝.令y＝0，得x＝y1＋x1.只需证明y1＋x1＝4，即证＋my1－3＝0，即证2my1y2－3(y1＋y2)＝0.

因为2my1y2－3(y1＋y2)＝－0，所以2my1y2－3(y1＋y2)＝0成立．

当m＝0时，直线ab：x＝1，此时a′，b重合，经过a′，b的直线有无数条，当然可以有一条经过点s(4,0)的直线．

当直线ab为x轴时，直线a′b就是直线ab，即x轴，这条直线也经过点s(4,0)．

综上所述，点a，b不论如何变化，直线a′b与x轴交于点s(4,0)．

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