1. 已知函数在处取得的极小值是。
1)求的单调递增区间；
2)若时，有恒成立，求实数的取值范围。
2. 某造船公司年最高造船量是20艘。 已知造船x艘的产值函数r (x)=3700x + 45x2 – 10x3(单位：
万元), 成本函数为c (x) =460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数f(x)的边际函数mf (x)定义为：
mf (x) =f (x+1) –f (x). 求：（提示：
利润 = 产值 – 成本）
1) 利润函数p(x) 及边际利润函数mp(x);
(2) 年造船量安排多少艘时， 可使公司造船的年利润最大？
(3) 边际利润函数mp(x)的单调递减区间， 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？
3. 已知函数，函数的图象与的图象关于点中心对称。
1）求函数的解析式；
2）如果，，试求出使成。
立的取值范围；
3）是否存在区间，使对于区间内的任意实数，只要，且时，都有恒成立？
4. 定义在区间（0，）上的函f(x)满足：（1）f(x)不恒为零；（2）对任何实数x、q,都有。
1）求证：方程f(x)=0有且只有一个实根；
2）若a>b>c>1,且a、b、c成等差数列，求证：；
3）（本小题只理科做）若f(x) 单调递增，且m>n>0时，有，求证：
5. 已知，点a(s,f(s)),b(t,f(t)) i) 若，求函数的单调递增区间；
ii)若函数的导函数满足：当|x|≤1时，有||≤恒成立，求函数的解析表达式；
iii)若06.椭圆方程为的一个顶点为，离心率。
1）求椭圆的方程；
2）直线： 与椭圆相交于不同的两点满足，求。
7.已知直线与曲线交于不同的两点，为坐标原点．
ⅰ）若，求证：曲线是一个圆；
ⅱ）若，当且时，求曲线的离心率的取值范围．
8.设椭圆的左、右焦点分别为、，a是椭圆c上的一点，且，坐标原点o到直线的距离为．
1）求椭圆c的方程；
2）设q是椭圆c上的一点，过q的直线l交x轴于点，较y轴于点m，若，求直线l的方程．
9.已知动点a、b分别在x轴、y轴上，且满足|ab|=2，点p**段ab上，且。
设点p的轨迹方程为c。
（1）求点p的轨迹方程c；
（2）若t=2，点m、n是c上关于原点对称的两个动点（m、n不在坐标轴上），点q
坐标为求△qmn的面积s的最大值。
10.已知点a（－1，0），b（1，－1）和抛物线。，o为坐标原点，过点a的动直线l交抛物线c于m、p，直线mb交抛物线c于另一点q，如图。
i）证明：为定值；
ii）若△pom的面积为，求向量与的夹角；
ⅲ) 证明直线pq恒过一个定点。
11.已知椭圆c：上动点到定点，其中的距离的最小值为1.
1）请确定m点的坐标。
2）试问是否存在经过m点的直线，使与椭圆c的两个交点a、b满足条件（o为原点）,若存在，求出的方程，若不存在请说是理由。
12.已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足。
ⅰ）当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程；
ⅱ）设、为轨迹上两点，且》1, >0,，求实数，使，且。
13.已知分别是双曲线=l（a>0，b>0）的左、右焦点，p为双曲线上的一点，若 ,且的三边长成等差数列．又一椭圆的中心在原点，短轴的一个端点到其右焦点的距离为，双曲线与该椭圆离心率之积为。
（i）求椭圆的方程；
（ⅱ）设直线与椭圆交于a，b两点，坐标原点o到直线l的距离为，求△aob面积的最大值．
答案：1.解：(1)，由题意，令得的单调递增区间为和。
2)，当变化时，与的变化情况如下表：
所以时，.于是在上恒成立等价于，求得。
2.解：(1) p(x) =r (x) –c (x) =10x3 + 45x2 + 3240x – 5000 (xn且x[1, 20]);2分。
mp (x) =p ( x + 1 ) p (x) =30x2 + 60x +3275 (xn且x[1, 20]).4分。
(2) p`(x) =30x2 + 90x + 3240 = 30( x +9 )(x – 12) (xn且x[1, 20]) 7分。
当1< x < 12时， p`(x) >0, p(x)单调递增，
当 12 ∴ x = 12 时， p(x)取最大值10分。
即， 年建造12艘船时， 公司造船的年利润最大11分。
(3) 由mp(x ) 30( x – 1) 2 + 3305 (xn且x[1, 20]).
∴当1< x 20时，mp (x)单调递减12分。
mp (x)是减函数说明： 随着产量的增加，每艘利润与前一台比较，利润在减少。1
3.解：（16分）
2）由解得。
即。解得12分）
1） 由，又，当时，对于时，，命题成立。……14分）
以下用数学归纳法证明对，且时，都有成立。
假设时命题成立，即，那么即时，命题也成立。
存在满足条件的区间。
4.解：(1)取x=1,q=2,有。
若存在另一个实根，使得。
2），则0，∴，又a+c=2b,ac-b=
即ac(3)
又。令m=b,n=,b且q
则f(m)+f(n)=(qf(b)=f(mn)=0且。
即4m=,由05.解：(i) f (x)=x3-2x2+x, (x)=3x2-4x+1,因为f(x)单调递增，所以(x)≥0，即 3x2-4x+1≥0,解得，x≥1, 或x2分。
故f(x)的增区间是(-∞和[13分。
ii) (x)=3x2-2(a+b)x+ab.
当x∈[-1，1]时，恒有| (x4分。
故有≤(1)≤，1)≤，05
即 ……6+②，得。
ab8分。又由③，得。
ab=，将上式代回①和②，得。
a+b=0,故f(x)=x3x9分。
iii) 假设⊥,即= =st+f(s)f(t)=0, …10分。
s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1,[st-(s+t)a+a2][st-(s+t)b+b2]=-111分。
由s，t为(x)=0的两根可得，s+t= (a+b), st=, 0 从而有ab(a-b)2=912分。
这样(a+b)2=(a-b)2+4ab
4ab≥2=12，即 a+b≥2,这样与a+b<2矛盾13分。
故与不可能垂直。
6.【解】（1）设，依题意得即
∴，即椭圆方程为。
2） ∴且点线段的中点，由消去得即（*）
由，得方程（*）的，显然方程（*）有两个不相等的实数根。
设、，线段的中点，则， ，即
∴直线的斜率为，由，得， ∴解得：，7.【解】（ⅰ证明：设直线与曲线的交点为。
∴ 即： 在上，
两式相减得： ∴即：
曲线是一个圆。
（ⅱ）设直线与曲线的交点为，
曲线是焦点在轴上的椭圆。
即： 将代入整理得：，
在上 ∴又。
8.【解】（1）由题设知。
由于，则有，所以点a的坐标为，故所在直线方程为，所以坐标原点o到直线的距离为，又，所以，解得，所求椭圆的方程为．
2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，则有，设，由于，∴，解得
又q在椭圆c上，得，解得， 故直线l的方程为或， 即或．
9【解】（1）设。
（2）t=2时，
10.解：（i）设点、m、a三点共线，(ii)设∠pom=α，则。
由此可得tanα=1.
又 (ⅲ)设点、b、q三点共线， 即 即
由（*）式，代入上式，得。
由此可知直线pq过定点e（1，－4）.
11.解析：设，由得故由于且故当时，的最小值为此时，当时，取得最小值为解得不合题意舍去。综上所知当是满足题意此时m的坐标为（1，0）。
2）由题意知条件等价于，当的斜率不存在时，与c的交点为，此时，设的方程为，代入椭圆方程整理得，由于点m在椭圆内部故恒成立，由知即，据韦达定理得，代入上式得得不合题意。综上知这样的直线不存在。
12.解：（ⅰ设点，由得。由，得，即。又点在轴的正半轴上，∴.
故点的轨迹的方程是。
ⅱ）由题意可知为抛物线：的焦点，且、为过焦点的直线与抛物。
线的两个交点，所以直线的斜率不为。
当直线斜率不存在时，得，不合题意；
当直线斜率存在且不为时，设，代入得，则，解得。
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