原点连线问题。
1．1 与原点连线互相垂直的问题。
在解题实践时，我们发现有一类这样的问题，它们的共同点是图形中有两条从原点出发的射线和互相垂直．由于这类问题的表现形式具有很强的对称性，所以有一种富有技巧性的解法．下面以椭圆为例说明这种解法．
设椭圆，直线交椭圆与两点、，且与垂直，那么。
即。在排除特殊情形后，上式可以化为。
可以想象，如果我们可以通过直线与圆锥曲线联立获得一个关于的二次式，那么利用韦达定理考察该二次式就可以解决问题．（当然，我们也可以利用直线方程将转化为关于和的式子，但这样破坏的式子的对称性）
问题的关键在于方程不是齐次的．
我们将直线方程转化为。
代入上式有。
整理有。即。
所以。也就是。
此时二次方程①的判别式大于0即为直线与椭圆有两个交点的充分必要条件，而②就是该直线与椭圆的交点与原点的连线互相垂直的充分必要条件．
这种解法的关键在于化齐次的想法，而实现这种想法的关键在于对直线方程的变形．对于一般式，我们将其变形为．类似的，对于斜截式，我们将其变形为，而截距式是天然已经变形完成的式子．第七节将展示这种想法在求圆锥曲线的切线方程时的应用．
1．2 原点连线问题的推广。
1．2．1 判断点与已知直径的圆位置关系的问题。
在上一小节中研究的问题也可以看做原点在以为直径的圆上的问题．一般的，如果要判断一个已知点是否在以已知线段为直径的圆内有以下三种途径：
1）计算的中点坐标，线段的长度，进而计算出以为直径的圆的方程。
这样就可以将点的坐标代入运算，通过比较到圆心的距离与半径的大小判断与圆的位置关系了；
2）在中，计算三条边的长度、和，通过比较与的大小关系判断中是锐角、直角或是钝角，进而判断与以为直径的圆的位置关系；
3）与（2）的想法类似，由于也是向量与的夹角，因此我们可以通过判断的正负来比较与直角的大小关系，进而判断与以为直径的圆的位置关系．
在解决实际问题时，由于途径（1）和（2）需要的条件比较苛刻，而对于向量的数量积，设、、有。
然后再利用直线的方程或是圆锥曲线的方程，结合韦达定理计算上式就可以了．因此这种途径在解题中被广泛应用．
特别地，当点为原点时，，这就与上一小节中所研究的问题类似了．因此，有时候我们可以通过平移坐标系的方法将点转化为原点，从而简化运算．
值得注意的是，如果需要使得，我们可以将其变形为，然后利用化齐次的办法进行直线与圆锥曲线方程的联立．但是如果需要判断与的大小关系，就需要实现判断的正负了．有时为了方便判断，我们也可以通过平移坐标轴来保证的符号．
1．2．2 定点连线问题。
换个角度看等式，可以认为这是一个定值问题．实际上，我们经常遇到需要使得为定值的问题．解决这类问题的思路很简单，只需要用向量的坐标运算计算，然后利用直线或抛物线方程化简式子联合韦达定理加以解决．
唯一需要注意的是，如果的表示式的分母中含有变量，那么不妨将定值设出来，然后将代数式变形为整式加以解决．
切线问题。2．1 圆锥曲线的切线问题。
圆锥曲线的切线问题是直线与圆锥曲线问题中的常见问题，也是圆锥曲线问题中的重难点问题．在正式展开这个问题之前，我们先复习一下圆的切线方程以及抛物线的切线方程求法．
对于圆和圆上一点而言，过点的圆的切线与垂直，于是切线方程为．
而对于抛物线和其上一点，我们利用导数得到切线的斜率为，因此切线方程为．
对于一般的圆锥曲线，我们既不能通过良好的几何性质（例如圆的切线与切点半径连线垂直），也不能通过导数获得切线的斜率．此时，只能依靠直线与圆锥曲线联立后考察判别式来得到切线方程．
对于椭圆和双曲线的切线，我们可以通过联立直线与圆锥曲线的方程通过考察判别式的方法求解其方程．
设椭圆或双曲线的方程为，其在第一象限的部分有一点（、）满足，设切线为（这里使用了直线的截距式，因为形如的直线不可能是的切线），与的方程联立得。
整理得。根据不等式知识。
等号当且仅当，也即时取得．
于是为所求，此时切线方程为．
当点位于其他象限时，可以利用椭圆和双曲线的对称性得到类似的结论．
综上，我们可以总结出对于一般的圆锥曲线，过其上一点的切线的方程为。
这个结论的证明比较复杂，在这里不再详尽说明．（事实上，在证明几种标准形式的圆锥曲线情形后，通过对坐标系进行平移变换就可以得到一般的圆锥曲线的切线方程了．）
当然，我们亦可以利用导数得到标准的圆锥曲线在第一象限上的切线方程．但是由于这种做法破坏的、的对称性，并且也不比上述方法简洁优美，所以在这里不再赘述．有兴趣的同学可以利用导数自行证明．
2．2 利用伸缩变换将椭圆变换为圆。
与双曲线的标准方程相比椭圆的标准方程在形式上极为接近圆的标准方程．在这一节，我们着重讲述利用伸缩变换将椭圆变换为圆，再利用圆的良好几何性质解决问题的方法．
对椭圆的标准方程，我们需要在轴进行伸缩变换。
得到方程。伸缩变换不会改变直线与圆锥曲线的交点个数、也不会改变共线线段长度的比例关系（例如中点等好的性质）、也不会改变平行和直线共点关系．但是伸缩变换会改变线段的长度，这需要引起充分的注意．
在伸缩变换①下，椭圆方程变为圆，椭圆上的点变为，因此过圆上一点的圆的切线方程为。
该直线通过伸缩变换①就可以得到过椭圆上一点的椭圆的切线方程。
即。用类似的想法可以从另外一方面理解第五节所述的内容，这对锻炼对圆锥曲线问题的思考能力是很有好处的．
2．3 切点弦问题。
假设椭圆在两点、处的切线分别为、，若、相交于点，那么。
点同时位于直线和直线上，于是。
所以直线的方程为。
这就意味着当定点位于椭圆外时，它对应的“切线方程”实际上是该点对应的切点弦方程．下面给出点对于几种标准圆锥曲线的切点弦方程：
圆的切点弦方程。
椭圆的切点弦方程。
双曲线的切点弦方程。
抛物线的切点弦方程。
在实际应用中，我们还可以通过联立切点弦方程与圆锥曲线的方程得到关于切点坐标的有关信息．
题型一：原点连线问题
例1】 （宣武·理·题20）已知，动点到定点的距离比到定直线的距离小．
1）求动点的轨迹的方程；
2）设是轨迹上异于原点的两个不同点，，求面积的最小值；
3）在轨迹上是否存在两点关于直线对称？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由．
例2】 （2009山东22）设椭圆（，）过，两点，为坐标原点，1）求椭圆的方程；
2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由．
3）在（2）的条件下，求的取值范围．
例3】 （2010浙江高考）已知，直线，椭圆，， 分别为椭圆的左、右焦点．
1）当直线过右焦点时，求直线的方程；
2）设直线与椭圆交于，两点，，的重心分别为，．若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围．
例4】 （2010湖北高考）已知一条曲线在轴右边，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差是1．
1）求曲线的方程；
2）是否存在正数，对于过点且与曲线有两个交点，的任一直线，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
题型二：切线问题。
例5】 （2011北京理科）已知椭圆g：，过点作圆的切线交椭圆g于a，b两点。
1）求椭圆g的焦点坐标和离心率；
2）将表示为m的函数，并求的最大值。
例6】 （2011全国ⅰ）在平面直角坐标系中，已知点，b点在直线上，点满足，，点的轨迹为曲线。
ⅰ）求的方程；
ⅱ）为上的动点，为在p点处得切线，求点到距离的最小值。
例7】 （2010上海卷高考）已知椭圆的方程为，点的坐标为．
1） 若直角坐标平面上的点、、满足，求点的坐标；
2） 设直线交椭圆于、两点，交直线于点．若，证明：为的中点；
3） 对于椭圆上的点 ，如果椭圆上存在不同的两个交点、满足，写出求作点、的步骤，并求出使、存在的的取值范围．
例8】 （2024年江苏理科18）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为．设过点的直线与此椭圆分别交于点、，其中，，．
1） 设动点满足，求点的轨迹；
2） 设，，求点的坐标；
3） 设，求证：直线必过轴的一定点（其坐标与无关）．
例9】 （崇文·理·题19）已知椭圆和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为．
1）（ⅰ若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率；
（ⅱ）若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心率的取值范围．
2）设直线与轴、轴分别交于点，，求证：为定值．
例10】 （2010东城·理）已知抛物线的焦点在轴上，抛物线上一点到准线的距离是，过点的直线与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为．
1）求抛物线的标准方程；
2）求的值；
3）求证：是和的等比中项．
高考数学的圆锥曲线题型变化多端，主要有几类题型，我们本讲主要说：
1）中点弦问题。
在韦达定理横行于圆锥曲线的解答题中，我们其实还有一种非常优秀的方法---点差法。对于什么样的中点弦，我们会使用点差法，而点差法中我们需要注意的问题，比如斜率本身的限制等，我们需要特殊关注。
2）定点弦问题。
弦上定比分点，或者定点分比问题，是我们常见的问题。我们的目标就是避过复杂的运算方法，转化成横坐标或者纵坐标之间的比例，利用韦达定理处理的更加轻松。
3）顶点弦问题。
顶点似乎在圆锥曲线并不是那么实际的几何意义，其实并非如此，关于顶点很多问题都是在解析几何中需要讨论出来的，让我更加清晰的认识到顶点的重要．
习题1】 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于（ ）
abcd．
习题2】 直线交抛物线于两点，为抛物线的顶点，，则的值为___
习题3】 中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，它的离心率为，与直线相交于两点、，且．求椭圆的方程．
习题4】 直线与椭圆交于不同两点和，且（其中为坐标原点），求的值．
习题5】 椭圆中心是坐标原点，焦点在轴上，，过椭圆左焦点的直线交椭圆于、两点，，且，求此椭圆的方程．
习题6】 （2024年石景山一模）已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，过其右焦点且倾斜角为的直线被双曲线截得的弦的长为．
04圆锥曲线
专题四 圆锥曲线。1 1991年全国 某双曲线的中心在坐标原点o，焦点在x轴上，又过它的右焦点且斜率为的直线交它于p q两点，若op oq，求该双曲线的方程。2 1991年上海 如图，设一动直线l，过定点a 2，0 且与抛物线相交于不同的两点b和c，点b c在x轴上的射影分别是b1 c1，p是线段b...
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