04圆锥曲线

专题四：圆锥曲线。

1、（2024年全国）某双曲线的中心在坐标原点o，焦点在x轴上，又过它的右焦点且斜率为的直线交它于p、q两点，若op⊥oq，，求该双曲线的方程。

2、（2024年上海）如图，设一动直线l，过定点a（2，0）且与抛物线相交于不同的两点b和c，点b、c在x轴上的射影分别是b1、c1，p是线段bc上的点，适合关系式。求δpoa的重心q的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。

3、（2024年全国）已知椭圆，a、b是椭圆上的两点，线段ab的垂直平分线与x轴相交于点，证明：。

4、（2024年上海）已知双曲线（参数），若c的上半支的顶点为a，且与直线交于点p，以a为焦点，m（0，m）为顶点的开口向下的抛物线通过点p，当c的一条渐近线的斜率在区间上变化时，求直线pm斜率的最大值。

5、（2024年上海）p为椭圆上的一个动点，它与长轴端点不重合，，点f1和f2分别是双曲线的左焦点和右焦点，。

1）求的表达式（用a及描述点p位置的一个变量来表示）；

2）当a固定时，求的最小值；

3）当a在区间上变化时，求的取值范围。

6、（2024年全国）已知直线l过坐标原点，抛物线c的顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上，若点a（– 1，0）和b（0，8）关于直线l的对称点都在c上，求直线l和抛物线c的方程。

7、（2024年全国）已知椭圆，直线，p是l上一点，射线op交椭圆于点r，又点q在op上且满足，当p点在l上运动时，求点q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

8、（2024年上海）设椭圆的方程为，过原点且倾斜角为θ和的两条直线分别交椭圆于a、c和b、d四点。

1）用θ、m、n表示四边形abcd的面积s；

2）若m、n为定值，当θ在上变化时，求s的最大值u；

3）如果，求的取值范围。

9、（2024年上海）已知双曲线s的渐近线过坐标原点，且与以点a (,0)为圆心，1为半径的圆相切，又曲线s的一个顶点与点a关于直线y = x对称，设直线l过点a，斜率为k。

1）求双曲线s的方程；

2）当k = 1时，在双曲线s的上支求点b，使其与直线l的距离为；

3）当0 ≤ k < 1时，若双曲线s的上支有且只有一点b到直线的距离为，求斜率k的值及相应的点b的坐标。

10、（2024年上海）如图，抛物线方程为，直线与x轴的交点在抛物线的准线的右边。

1）求证：直线与抛物线总有两个交点；

2）设直线与抛物线的交点为q、r，oq⊥or，求p关于m的函数的表达式；

3）在（2）的条件下，若m变化，使得原点o到直线qr的距离不大于，求p的取值范围。

11、（2024年全国）如图，给出定点和直线，b是直线l上的动点，∠boa的角平分线交ab于点c，求点c的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。

12、（2024年全国）如图，已知梯形abcd中，点e分有向线段所成的比为，双曲线过c、d、e三点，且以a、b为焦点，当时，求双曲线离心率e的取值范围。

13、（2024年全国）已知常数，在矩形abcd中，ab = 4，bc = 4a，o为ab的中点，点e、f、g分别在bc、cd、da上移动，且，p为ge与of的交点（如图）。问是否存在两个定点，使p到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。

14、（2024年北京理）如图，椭圆的长轴a1a2与x轴平行，短轴b1b2在y轴上，中心为。

1）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；

2）直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，求证：；

3）对于（2）中的c、d、g、h，设ch交x轴于点p，gd交x轴于点q，求证：（证明过程不考虑ch或gd垂直于x轴的情形）