1．如图，设抛物线方程为x2=2py(p>0)，m为直线上任意一点，过m引抛物线的切线，切点分别为a，b.
1)求证：a，m，b三点的横坐标成等差数列。
2)已知当m点的坐标为(2，)时，，求此时抛物线的方程；
3)是否存在点m，使得点c关于直线ab的对称点d在抛物线上，其中，点c满足(o为坐标原点).若存在，求出所有适合题意的点m的坐标；若不存在，请说明理由。
解：(1)证明：由题意设由得，则所以因此直线ma: 直线mb:所以。
由①、②得：所以a、m、b三点的横坐标成等差数列。
2)解：由(1)知，当x0=2时， 将其代入①、②并整理得：
所以x1、x2是方程的两根，因此又所以由弦长公式又，所以p=1或p=2，因此所求抛物线方程为或。
3)解：设d(x3,y3)，由题意得c(x1+ x2, y1+ y2),则cd的中点坐标为设直线ab的方程为由点q在直线ab上，并注意到点也在直线ab上，代入得若d(x3,y3)在抛物线上，则因此x3=0或x3=2x0. 即d(0，0)或。
(1’ 当x0=0时，则，此时，点m(0,-2p)适合题意。
2’ 当，对于d(0，0)，此时又ab⊥cd，所以即矛盾。对于因为此时直线cd平行于y轴，又所以直线ab与直线cd不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的m点。 综上所述，仅存在一点m(0，-2p)适合题意。
2．已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．(为坐标原点)
1)求椭圆的标准方程；
2)设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点．
若，当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；
若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．
解：(1)由题意得又，解得，．因此所求椭圆的标准方程为．
2)①假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为，．解方程组得，,所以．设由，所以，即，因为是的垂直平分线，所以直线的方程为，即，因此，又，所以，故．又当或不存在时，上式仍然成立．综上所述，轨迹．
当存在且时，由(1)得，，由解得，，所以，，．
解法一：由于。
当且仅当时等号成立，即时等号成立，此时最小．当，．当不存在时，．综上，的面积的最小值为．
解法二：因为，又，，当且仅当时等号成立，即时等号成立，此时面积的最小值是．下同解法一。
3.已知mr,直线l:和圆c:.
1)求直线l斜率的取值范围；
2)直线l能否将圆c分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？
解： (1)直线的方程可化为，此时斜率因为，所以，当且仅当时等号成立所以，斜率k的取值范围是；
2)不能。由(1)知的方程为，其中；圆ｃ的圆心为，半径；圆心ｃ到直线的距离，由，得，即，从而，若与圆ｃ相交，则圆ｃ截直线所得的弦所对的圆心角小于，所以不能将圆ｃ分割成弧长的比值为的两段弧；
4.双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．
1)求双曲线的离心率；
2)设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
解：(2)设，，则由题有：得：，，由倍角公式，解得，则离心率．
2)过直线方程为，与双曲线方程联立将，代入，化简有。将数值代入，有。解得，故所求的双曲线方程为。
5．设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与ab相交于点d，与椭圆相交于e、f两点．
1)若，求的值；
2)求四边形面积的最大值．
解：(1)依题得椭圆的方程为，设直线的方程分别为，.如图，设，其中，且满足方程，故① 由知，得；由在上知，得．所以，化简得，解得或．
2)解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，．又，所以四边形的面积为，当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．
解法二：由题设，，．设，，由①得，，故四边形的面积为 ，当时，上式取等号．所以的最大值为．
6．已知曲线c1：，曲线c2：.
1)指出c1，c2各是什么曲线，并说明c1与c2公共点的个数；
2)若把c1，c2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，,写出，的参数方程。与公共点的个数和c1与c2公共点的个数是否相同？说明你的理由。
解： (1)ｃ１时圆，ｃ２是直线。ｃ１的普通方程为，圆心ｃ１(0,0)，半径；ｃ2的普通方程为，因为圆心ｃ１到直线的距离为1，所以ｃ１与ｃ２只有一个公共点；
2)压缩后的参数方程分别为。化为普通方程为，联立消元得：，其判别式；所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和原来相同；
7．已知曲线是到点和到直线距离相等的点的轨迹．是过点的直线，是上(不在上)的动点；在上，，轴(如图)．
1)求曲线的方程；
2)求出直线的方程，使得为常数．
解：(1)设为上的点，则由题设得．化简得曲线的方程为．
2)设，直线，则，从而．在中，因为， (点到直线的距离公式)．所以，，．当时，，从而所求直线方程为．
8．若a、b是抛物线y2=4x上的不同两点，弦ab(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点p，则称弦ab是点p的一条“相关弦”.已知当x>2时，点p(x,0)存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2.
1)证明：点p(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；
2)试问：点p(x0,0)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？
解：(1)设ab为点p(x0,0)的任意一条“相关弦”，且a(x1,y1),b(x2,y2)(x1x2),则y21=4x1, y22=4x2,于是(y1+y2)(y1－y2)=4(x1－x2).因为x1x2,所以y1+y20.
设直线ab的斜率是k，弦ab的中点是m(xm, ym),则k=.从而ab的垂直平分线l的方程为又点p(x0,0)在直线l上，所以－ym=而于是故点p(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0－2.
2)由(1)知，弦ab所在直线的方程是，代入中，整理得(1)则是方程(1)的两个实根，且。
设点p的“相关弦”ab的弦长为l，则。
因为0<<4xm=4(x0－2) =4x0－8,于是设t=,则t (0,4x0－8).记l2=g(t)=－t－2(x0－3)]2+4(x0－1)2.
若x0>3,则2(x0－3) (0, 4x0－8),所以当t=2(x0－3),即=2(x0－3)时，l有最大值2(x0－1).
若2综上，当x0>3时，点p(x0,0)的“相关弦”的弦长中有最大值，且最大值为2(x0－1)；当2< x03时，点p(x0,0)的“相关弦”的弦长中不存在最大值。
9．如图，在以点o为圆心，|ab|=4为直径的半圆adb中，od⊥ab，p是半圆弧上一点，pob=30°，曲线c是满足||ma|-|mb||为定值的动点m的轨迹，且曲线c过点p.
1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线c的方程；
2)设过点d的直线与曲线c相交于不同的两点e、f.,若△oef的面积不小于2，求直线斜率的取值范围。
解：(1)以o为原点建立平面直角坐标系，则a(-2，0)，b(2，0)，d(0,2),p()，依题：
ma｜-｜mb｜=｜pa｜-｜pb｜＝ ∴曲线c的方程为。[也可设双曲线的方程为》0，b>0)] 2)可设直线l:y＝kx+2，代入双曲线c的方程并整理得(1-k2)x2-4kx-6=0.由题有 ∴k (-1)∪(1，1)∪(1，). 设e(x，y)，f(x2,y2)，则由①式得x1+x2= 解法1：｜ef｜＝ 而原点o到直线l的距离d＝，s△oef= 若△oef面积不小于2,即s△oef，则有。 综上得直线l的斜率的取值范围为[-，1)∪(1,1) ∪1,]. 解法2： = 当e、f在同一支上时(如图1所示)，s△oef＝ 当e、f在不同支上时(如图2所示). s△ode= 综上得s△oef＝于是s△oef= 下同解法一。 10．设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，定点(，0)． 1)过点作直线的垂线，垂足为，试求△的重心所在的曲线方程； 2)求证：三点共线． 2)设，，pa斜率为k，则切线pa的方程为：,联立得，因为直线与双曲线相切，从而。 = =0，及，解得。 因此pa的方程为：同理pb的方程为： (该切线方程可当作结论记住) 又在pa、pb上，∴且即点，都在直线上，又也在上，∴a、m、b三点共线。 第10章第1讲。一 选择题。1 椭圆x2 4y2 1的离心率为 abcd.解析 由x2 4y2 1得x2 1 a2 1 b2 c2 e2 e 答案 a2 2009 全国卷 理 已知椭圆c y2 1的右焦点为f，右准线为l，点a l，线段af交c于点b，若fa 3fb 则 af ab 2cd 3 解析... 高三复习专题讲义 圆锥曲线 1 一 要点回顾 1 椭圆的定义 定义1 若f1，f2是两定点，动点p满足 为常数 则p点的轨迹是椭圆。定义2 若f1为定点，为定直线，动点p到f1的距离与到定直线的距离之比为常数e 02 椭圆的方程 点的位置决定了标准方程的形式 标准方程 焦点在轴上 焦点在轴上 3 几... 一 椭圆。1 定义 1 pf1 pf2 2a 2a f1f2 2 2 标准方程及几何性质 a b 0a b 0 图形 范围 顶点 准线方程 共性 对称轴 x轴 y轴，对称中心 原点 0,0 长轴2a，短轴2b，f1f2 2c,离心率 e 3 椭圆方程的求法 定义法，待定系数法。若不能确定焦点在x轴还...圆锥曲线 1
圆锥曲线专题 1
十六圆锥曲线 1