关于利用“点差法”求解中点弦所在直线斜率
对于求解以定点为中点的弦所在直线方程问题，许多同学习惯于利用“点差法”先求直线斜率：即首先设弦的两端点坐标为，代入圆锥曲线方程得到两方程后再相减，从而得到弦中点坐标与所在直线的斜率的关系，使问题得以解决。
此方法巧妙地将斜率公式和中点坐标公式结合起来，设而不求，代点作差，可以减少计算量，提高解题速度，优化解题过程，对解决此类问题确实具有很好的效果。
但在具体应用时，由于“点差法”所必须具备的前提条件是符合条件的直线确实存在，否则就会产生增根。
而学生由于认知方面的原因，对于此类问题往往只注意利用“点差法”先求直线斜率再求方程却常常忽略了检验符合条件的直线是否存在，从而走入“点差法”的误区，出现错误却无法察觉。
问题1：已知点是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程。
解：法1：设直线与椭圆交点为，则有，两式相减，得：，因为为中点，所以有：，所以，故所求直线的方程为，即。
法2：显然直线斜率存在，设其斜率为，则所求直线方程为，联立椭圆方程消去并整理可得，由韦达定理求得，再求出直线的方程。
不过这种解法计算量比较大，过程比较麻烦。
总结：以上两种解法就是求解以定点为中点的弦所在直线方程的常用方法，我们不妨称之为“点差法”和“联立法”。其中联立直线与椭圆方程消去（或）再由韦达定理求出虽然思路很清晰，但运算比较复杂，故一般情况下优先考虑“点差法”。
那么，使用“点差法”时要注意什么问题呢？
问题2：已知双曲线的方程为，问是否存在被点平分的弦？
错解：假设存在被点平分的弦，设，则有，相减得：，因为为的中点，所以有：，所以，故所求直线的方程为。
辨析错误，归纳结论
通过画图，发现直线跟已知双曲线没有交点，这样的直线根本就不存在。
用“联立法”并结合来判断：假设符合条件的直线存在，则它显然不与轴平行，故可设其方程为：，代入双曲线方程化简整理得。
又设弦的两端点为，则是方程①的两实根，由韦达定理有，可解得，但此时方程①中，说明直线与双曲线无交点，故被点平分的弦不存在。
以后求解此类问题时，我们可先用“点差法”求直线斜率再验证是否成立，也可通过定点与椭圆、双曲线的位置关系来判断以定点为中点的直线是否存在。
不过对于解答题，从考试得分的角度看，还是借助于判别式判断较为稳妥。
对于问题2，直线与双曲线的交点的坐标需要满足方程组（ⅰ）而使用“点差法”求斜率时，两点坐标只需满足方程组（ⅱ）
其中：方程组（ⅰ）方程组（ⅱ）
显然方程组（ⅰ）的解必然满足方程组（ⅱ）而反之却不一定满足。问题2中方程组（ⅱ）有解但方程组（ⅰ）却无解，也就是满足条件的点并不存在。而在用“点差法”求解的过程中对坐标的要求降低（只需满足方程组（ⅱ）即可），因此会出现增根的现象。
故“点差法”只是求中点弦的必要条件，必须还要验证是否符合题设条件。
点差法”应用面面观。
处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，常用到“点差法”，以设而不求，优化运算。
1 求弦中点的轨迹方程。
例1 已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程。
解设弦的两个端点分别为，的中点为。
则，（1），（2）
得：，.又，.
弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为（在已知椭圆内）.
例2 直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是。
解设，中点，则。
过定点，.又，（1），（2）
得：，于是，即。
弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为（在已知抛物线内）.
2 求曲线方程。
例3 已知的三个顶点都在抛物线上，其中，且的重心是抛物线的焦点，求直线的方程。
解由已知抛物线方程得。设的中点为，则三点共线，且，分所成比为，于是，解得，.
设，则。又，（1），（2）
得：，.所在直线方程为，即。
例4 已知椭圆的一条准线方程是，有一条倾斜角为的直线交椭圆于。
两点，若的中点为，求椭圆方程。
解设，则，且，（1），（2）
得：，，3）
又，，（4）而，（5）
由（3），（4），（5）可得， 所求椭圆方程为。
3 求直线的斜率。
例5 已知椭圆上不同的三点与焦点的距离成等差数列。（1）求证：；（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率。
1）证略。2）解 ，设线段的中点为。
又在椭圆上， ，1），（2）
得：，直线的斜率，直线的方程为。
令，得，即，直线的斜率。
4 确定参数的范围。
例6 若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围。
解当时，显然满足。
当时，设抛物线上关于直线对称的两点分别为，且的中点为，则，（1），（2）
得：，又，.
中点在直线上，，于是。
中点在抛物线区域内。
即，解得。综上可知，所求实数的取值范围是。
5 证明定值问题。
例7 已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心。求证：直线和直线的斜率之积是定值。
证明设且，则，（1），（2）
得：，.又，，（定值）.
6 处理存在性问题。
例8 已知双曲线，过能否作直线，使与双曲线交于，两点，且是线段的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。
解假设这样的直线存在，设的坐标分别为，则，，又，（1），（2）
得：，的斜率。
又直线过三点，的方程为，即。
但若将代入整理得方程，而此方程无实数解，所以满足题设的直线不存在。
7 其它。看上去不是中点弦问题，但与之有关，也可应用。
例9，过抛物线上一定点p（）（作两条直线分别交抛物线于a（），b（）．
1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点f的距离；
2）当pa与pb的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线ab的斜率是非零常数。
解答从略。点差法。
1.过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆c相交于a、b两点，直线y=x过线段ab的中点，同时椭圆c上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆c的方程。
命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强，知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题。
错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误。恰当地利用好对称问题是解决好本
题的关键。技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将a、b两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线ab斜率的等式。
解法二，用韦达定理。
解法一：由e=,得，从而a2=2b2,c=b.
设椭圆方程为x2+2y2=2b2,a(x1,y1),b(x2,y2)在椭圆上。
则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,
设ab中点为(x0,y0),则kab=－,又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,于是－=－1,kab=－1,设l的方程为y=－x+1.
右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=.
∴所求椭圆c的方程为=1,l的方程为y=－x+1.
解法二：由e=,从而a2=2b2,c=b.
设椭圆c的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),将l的方程代入c的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－.
直线l：y=x过ab的中点(),则，解得k=0，或k=－1.
若k=0,则l的方程为y=0,焦点f(c,0)关于直线l的对称点就是f点本身，不能在椭圆c上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一。
2.已知圆c1的方程为(x－2)2+(y－1)2=,椭圆c2的方程为=1(a＞b＞0)，c2的离心率为，如果c1与c2相交于a、b两点，且线段ab恰为圆c1的直径，求直线ab的方程和椭圆c2的方程。
解：由e=,可设椭圆方程为=1,又设a(x1,y1)、b(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2,又=1,两式相减，得=0,即(x1+x2)(x1－x2)+2(y1+y2)(y1－y2)=0.
化简得=－1,故直线ab的方程为y=－x+3,代入椭圆方程得3x2－12x+18－2b2=0.
有δ=24b2－72＞0,又|ab|=,得，解得b2=8.
故所求椭圆方程为=1.
2024年江西卷）如图，椭圆q：（ab0）的右焦点f（c，0），过点f的一动直线m绕点f转动，并且交椭圆于a、b两点，p是线段ab的中点。
求点p的轨迹h的方程。
在q的方程中，令a2＝1＋cos＋sin，b2＝sin（0 ），确定的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为d，当直线m绕点f转动到什么位置时，三角形abd的面积最大？
解：如图，（1）设椭圆q：（ab0）上的点a（x1，y1）、b（x2，y2），又设p点坐标为p（x，y），则。
1当ab不垂直x轴时，x1x2，由（1）－（2）得。
b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0
b2x2＋a2y2－b2cx＝0………3）
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