数学辅导---圆锥曲线》（2）
1．（2023年上海市春季高考数学试卷）已知抛物线的焦点为。
1)点满足。当点在抛物线上运动时，求动点的轨迹方程；
2)在轴上是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上？如果存在，求所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由。
答案】(1)设动点的坐标为，点的坐标为，则，
因为的坐标为，所以，
由得。 即解得
代入，得到动点的轨迹方程为。
2)设点的坐标为。点关于直线的对称点为，
则解得 若在上，将的坐标代入，得，即或。
所以存在满足题意的点，其坐标为和。
2．（2023年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）word版含答案（已校对））已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为直线与的两个交点间的距离为。
i)求；ii)设过的直线与的左、右两支分别相交于两点，且，证明：成等比数列。
答案】3．（2023年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（word版））如图，抛物线，点在抛物线上，过作的切线，切点为(为原点时，重合于),切线的斜率为。
i)求的值；
ii)当在上运动时，求线段中点的轨迹方程。
答案】4．（2023年高考陕西卷（理））已知动圆过定点a(4,0), 且在y轴上截得的弦mn的长为8.
ⅰ) 求动圆圆心的轨迹c的方程；
ⅱ) 已知点b(-1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹c交于不同的两点p, q, 若x轴是的角平分线， 证明直线过定点。
答案】解：(ⅰa(4,0),设圆心c
ⅱ) 点b(-1,0),
直线pq方程为：
所以，直线pq过定点(1,0)
5．（2023年高考湖北卷（理））如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为，记，和的面积分别为和。
i)当直线与轴重合时，若，求的值；
ii)当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得？并说明理由。
答案】解：(i),
解得：(舍去小于1的根)
ii)设椭圆，直线：
同理可得，
又和的的高相等
如果存在非零实数使得，则有，
即：,解得
当时，存在这样的直线；当时，不存在这样的直线。
6．（2023年普通高等学校招生统一考试新课标ⅱ卷数学（理）（纯word版含答案））平面直角坐标系中，过椭圆的右焦点作直交于两点，为的中点，且的斜率为。
ⅰ)求的方程；
ⅱ)为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值。
答案】7．（2023年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯word版））已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线：的距离为。设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点。
ⅰ) 求抛物线的方程；
ⅱ) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；
ⅲ) 当点在直线上移动时，求的最小值。
答案】(ⅰ依题意，设抛物线的方程为，由结合，解得。
所以抛物线的方程为。
ⅱ) 抛物线的方程为，即，求导得
设，(其中),则切线的斜率分别为，
所以切线的方程为，即，即
同理可得切线的方程为
因为切线均过点，所以，
所以为方程的两组解。
所以直线的方程为。
ⅲ) 由抛物线定义可知，
所以 联立方程，消去整理得
由一元二次方程根与系数的关系可得，
所以 又点在直线上，所以，
所以 所以当时， 取得最小值，且最小值为。
8．（2023年高考江西卷（理））如图，椭圆经过点离心率，直线的方程为。
1) 求椭圆的方程；
2) 是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点，记的斜率分别为问：是否存在常数，使得？若存在求的值；若不存在，说明理由。
答案】解：(1)由在椭圆上得， ①
依题设知，则 ②
代入①解得。
故椭圆的方程为。
2)方法一：由题意可设的斜率为，
则直线的方程为 ③
代入椭圆方程并整理，得， 设，则有
在方程③中令得，的坐标为。
从而。 注意到共线，则有，即有。 所以
代入⑤得，
又，所以。故存在常数符合题意。
方法二：设，则直线的方程为：,
令，求得，
从而直线的斜率为，
联立 ,得，
则直线的斜率为：,直线的斜率为：,
所以， 故存在常数符合题意。
高考辅导圆锥曲线讲义
圆锥曲线的综合应用及其求解策略。解答圆锥曲线的综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的相关知识，将曲线的几何特征转化为数量关系 如方程 不等式 函数等 再结合代数知识去解答。解答过程中要重视函数思想 方程与不等式思想 分类讨论思想和数形结合思想的灵活应用。高考题中，主观题19题，中等偏上难...
高考数学圆锥曲线
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圆锥曲线 双曲线
一 双曲线的定义 第一定义 平面内与两定点f1 f2距离之差的绝对值等于定长2 注意 当2 时动点p的轨迹表双曲线。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。当2 时动点p的轨迹表以f f为端点的两条射线。当2 时点p不存在。二 双曲线的标准方程及几何性质 三 双曲线常规题型。1 求中心在原点，...