第10章第1讲。
一、选择题。
1．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为( )
abcd.
解析] 由x2＋4y2＝1得x2＋＝1 ∴a2＝1 b2＝ ∴c2＝
e2＝＝ e＝.
答案] a2．(2009·全国卷ⅰ理)已知椭圆c：＋y2＝1的右焦点为f，右准线为l，点a∈l，线段af交c于点b，若fa―→＝3fb―→，则|af―→|
ab．2cd．3
解析] 过点b作bm⊥l于m，并设右准线l与x轴的交点为n，易知fn＝1.由题意fa―→＝3fb―→，故|bm|＝.又由椭圆的第二定义，得|bf|＝·af|＝.
答案] a3．(2008·山东)设椭圆c1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线c2上的点到椭圆c1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线c2的标准方程为( )
a.－＝1 b.－＝1
c.－＝1 d.－＝1
解析] 设c1方程为＋＝1，则a1＝13，e1＝＝，c1＝5.
由题意可知c2为双曲线，且2a2＝8，∴a2＝4，又c2＝c1＝5.
b2＝3.故曲线c2的标准方程为－＝1.
答案] a4．(2009·陕西)“m＞n＞0”是方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆的( )
a．充分而不必要条件 b．必要而不充分条件。
c．充要条件 d．既不充分也不必要条件。
答案] c5．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )
abc．2d．4
解析] 椭圆为x2＋＝1.由题意得＝4，即m＝.
故选a.答案] a
6．(2009·汕头一模)已知p是椭圆＋＝1上的点，f1，f2分别是椭圆的左、右焦点，若＝，则△f1pf2的面积为( )
abc．2d．3
解析] cos＜pf1―→，pf2―→＞pf1―→，pf2―→＞60°又|pf1|＋|pf2|＝4，|pf1|2＋|pf2|2－42＝－2|pf1|·|pf2|，|pf1|2＋|pf2|2－4＝|pf1||pf2|，|pf1|·|pf2|＝4，∴s△f1pf2＝.
答案] b二、填空题。
7．设椭圆过点(3,0)，且离心率e＝，则椭圆的标准方程是。
解析] (1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)
则由椭圆过点(3,0)及e＝＝得a2＝9，b2＝3
2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)
则由椭圆过点(3,0)及e＝＝得a2＝27，b2＝9
所求的椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
答案] ＋1或＋＝1
8．在平面直角坐标系xoy中，已知△abc顶点a(－4,0)和c(4,0)，顶点b在椭圆＋＝1上，则。
解析] 由已知，在△abc中，ac＝8，ab＋bc＝10
根据正弦定理有＝＝.
答案] 9．(2009·惠州二模)以f1、f2为焦点的椭圆＋＝1(a＞b＞0)上顶点p，当∠f1pf2＝120°时，则此椭圆离心率e的大小为___
答案] 10．(2009·广东，11)已知椭圆g的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且g上一点到g的两个焦点的距离之和为12，则椭圆g的方程为___
解析] 设＋＝1(a＞b＞0)，＝2a＝12，c＝3，b2＝9，＋＝1.
答案] ＋1
三、解答题。
11．设椭圆＋y2＝1(m＞0)的两个焦点分别是f1、f2，m是椭圆上任意一点，△f1mf2的周长为2＋2.
1)求椭圆的方程；
2)过椭圆的y轴负半轴上的顶点b及椭圆右焦点f2作一直线交椭圆于另一点n，求△f1bn的面积．
解] (1)由题意知，椭圆焦点在x轴上，设椭圆的长轴、短轴、焦距的长分别为2a、2b、2c，则a＝，b＝1，c＝m
由已知，2a＋2c＝2＋2，∴＋m＝1＋
解得m＝1，所以椭圆的方程为＋y2＝1.
2)由(1)知，b(0，－1)，f2(1,0)，所以直线的方程为y＝x－1
由解得n(，)
因为|f1f2|＝2，所以s△f1bn＝×2×(1＋)＝
12．从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点p向x轴引垂线，垂足恰为椭圆的左焦点f1，a为椭圆的右顶点，b是椭圆的上顶点且 (λ0)．
1)求该椭圆的离心率；
2)若该椭圆的准线方程是x＝±2，求椭圆方程．
解] (1)∵ 0)
点p在第二象限内．
yp＞0，点f1(－c,0)，xp＝－c，代入椭圆方程，得yp＝，即|pf1|＝.
再由，得△oab∽△f1op.
＝即：＝，b＝c.
由a2＝b2＋c2，得a2＝2c2.
e＝＝.2)由椭圆的准线方程是x＝±2得。
2.又＝a＝，c＝b＝.
故所求的椭圆方程是：＋＝1.
13．(2010·安徽)椭圆e经过点a(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点f1，f2在x轴上，离心率e＝.
1)求椭圆e的方程；
2)求∠f1af2的角平分线所在直线的方程．
解] (1)设椭圆e的方程为＋＝1，由e＝，得＝，b2＝a2－c2＝3c2.
将a(2,3)代入，有＋＝1，解得c＝2.∴椭圆e的方程为＋＝1.
2)由(1)知f1(－2,0)，f2(2,0)，所以直线af1的方程为y＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0.直线af2的方程为x＝2.由椭圆e的图形知，∠f1af2的角平分线所在直线的斜率为正数．
设p(x，y)为∠f1af2的角平分线所在直线上任一点，则有＝|x－2|.
若3x－4y＋6＝5x－10，得x＋2y－8＝0，其斜率为负，不合题意，舍去．
于是3x－4y＋6＝－5x＋10，即2x－y－1＝0.
所以∠f1af2的角平分线所在直线的方程为2x－y－1＝0.
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