圆锥曲线培优训练1
1、已知椭圆（a＞b＞0），p为椭圆上除长轴端点外的任一点，f1、f2为椭圆的两个焦点，1）若，，求证：离心率；
2）若，求证：的面积为。
证明：（1）在中，由正弦定理可知，则。
2）在中由余弦定理可知。
1. 已知椭圆的左、右焦点分别是f1（－c，0）、f2（c，0），q是椭圆外的动点，满足点p是线段f1q与该椭圆的交点，点t**段f2q上，并且满足。
1）设为点p的横坐标，证明；
2）求点t的轨迹c的方程；
3）试问：在点t的轨迹c上，是否存在点m，使。
f1mf2的面积s=若存在，求∠f1mf2的正切值；若不。
存在，请说明理由．
解：（1）设点p的坐标为（x,y）,由p（x,y）在椭圆上，得。
又由知，所以。
2） 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上．
当且时，由，得．
又，所以t为线段f2q的中点．
在△qf1f2中，，所以有。
综上所述，点t的轨迹c的方程是
3） c上存在点m（）使s=的充要条件是。
由③得，由④得
所以，当时，存在点m，使s=；
当时，不存在满足条件的点m．
当时，由，得。
2. 倾斜角为60°的一束平行光线，将一个半径为的球投影在水平地面上，形成一个椭圆．若以该椭圆的中心为原点，较长的对称轴为x轴，建立平面直角坐标系．
1）求椭圆的标准方程；
2）若球的某一条直径的两个端点在地面上的投影恰好分别落在椭圆边界的a、b两点上，且已知c（－4，0），求·的取值范围．
解答：（1）设椭圆方程是，由题知b=，2a=，a=2
所求椭圆的标准方程是。
2）设a（x1,y1），b（x2,y2），a、b关于坐标原点o对称， =x1＋4,y1），=x2＋4,y2），=x1＋4,y1）·（x2＋4,y2）=x1x2＋4(x1＋x2)＋16＋y1y2= x1x2＋16＋y1y2
ab与x轴不垂直时，设直线ab的方程是y=kx，代入椭圆方程得。
由于k可以取任意实数，故·∈[12，13
ab与x轴垂直时，||cos∠acb==
3. 已知椭圆c：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点f且斜率为1的直线交椭圆c于a，b两点，n为弦ab的中点。
1）求直线on（o为坐标原点）的斜率kon ；
2）对于椭圆c上任意一点m ，试证：总存在角（∈r）使等式：＝cos＋sin成立。
解：（1）设椭圆的焦距为2c,因为，所以有，故有。从而椭圆c的方程可化为。
易知右焦点f的坐标为（），据题意有ab所在的直线方程为。
由①，②有。
设，弦ab的中点，由③及韦达定理有：
所以，即为所求。
2）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立。
设，由(1）中各点的坐标，有，所以。
又点在椭圆c上，所以有整理为。
由③, 有。 所以。
又a﹑b在椭圆上，故有。
将⑤，⑥代入④可得。
对于椭圆上的每一个点，总存在一对实数，使等式成立，而。
在直角坐标系中，取点p（），设以x轴正半轴为始边，以射线op为终边的角为，显然。
也就是： 对于椭圆c上任意一点m ，总存在角（∈r）使等式：＝cos＋sin成立。
4. 设、分别是椭圆的左、右焦点．
1）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的作标；
2）设过定点的直线与椭圆交于同的两点、，且为锐角（其中为作标原点），求直线的斜率的取值范围．
解答：（1）易知，，．设．则。
又，联立，解得，．
2）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．
联立， 由，，，得．①
又为锐角，∴ 又。
综①②可知，∴的取值范围是．
7. 抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为8,且点在轴上方过点作轴的垂线，垂足为。
1)求抛物线方程；
2)若过点作，垂足为，试求点坐标；
3)以为圆心为半径作圆，当是轴上一动点，讨论与圆的位置关系。
解答：(1)抛物线的准线方程为，由抛物线定义知：到准线的距离为8,∴∴
(2)∵,由题意得，又∴∴
∴的方程为的方程为。
由， 得 ，
(3)因为， 所以的方程为。
即又∵圆的半径为。
到的距离。当即：或时，和圆相切；
当即：时，和圆相离；
当即：或时，和圆相交。
8. 已知抛物线的焦点为f，a、b是抛物线上的两动点，且过a、b两点分别作抛物线的切线，设其交点为m.
1）证明为定值；
2）设的面积为s，写出的表达式，并求s的最小值。
解答：(1) 由已知条件，得f(0，1)，λ0．
设a(x1，y1)，b(x2，y2)．由＝λ，即得(－x1，1－y)＝λx2，y2－1)，
将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得 y1＝λ2y2 ③
解②、③式，得 y1＝λ，y2＝，且，有 x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x．
所以，过抛物线上a、b两点的切线方程分别是。
y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，即 y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．
解出两条切线的交点m的坐标为(，)1)．
所以，·＝2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0，所以，·为定值，其值为0．
2)由(1)知， 在△abm中，fm⊥ab，因而s＝|ab||fm|．fm|＝＝
因为|af|、|bf|分别等于a、b到抛物线准线y＝－1的距离，所以 |ab|＝|af|＋|bf|＝y1＋y2＋2＝λ＋2＝(＋2．
于是 s＝|ab||fm|＝(3，由＋≥2知s≥4，且当λ＝1时，s取得最小值4．
9. 已知抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为．
1）求抛物线的方程．
2）设直线与抛物线交于两点，且。
是弦的中点，过作平行于轴的直线交抛物线于点，得到；再分别过弦、的中点作平行于轴的直线依次交抛物线于点，得到和；按此方法继续下去．
解决下列问题：
求证：；计算的面积；
根据的面积的计算结果，写出。
的面积；请设计一种求抛物线与线段所围成封闭图。
形面积的方法，并求出此封闭图形的面积．
解答：（1）由抛物线定义，抛物线上。
点到焦点的距离等于它到准线的距离，得，所以抛物线的方程为．
2）由，得，（或）
当，即且时，（或）
由，即，得，所以．
由①知，中点的坐标为，点，由问题②知，的面积值仅与有关，由于。
所以与的面积。
设。由题设当中构造三角形的方法，可以将抛物线与线段所围成的封闭图形的面积。
看成无穷多个三角形的面积的和，即数列的无穷项和，所以。
即，因此，所求封闭图形的面积为．
1.设椭圆c1:ax2+by2=1(07. 已知圆方程为：.
ⅰ）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程；
ⅱ）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线。
解（ⅰ）当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为满足题意1分。
若直线不垂直于轴，设其方程为，即
设圆心到此直线的距离为，则，得 ……3分
故所求直线方程为。
综上所述，所求直线为或 ……7分。
ⅱ）设点的坐标为（），点坐标为。
则点坐标是9分， 即11分。
又。∴点的轨迹方程是13分
轨迹是一个焦点在轴上的椭圆，除去短轴端点。 …14分。
8. （本小题满分16分）
已知f1（－c,0）, f2（c,0） (c＞0)是椭圆的两个焦点，o为坐标原点，圆m的方程是．
1）若p是圆m上的任意一点，求证：是定值；
2）若椭圆经过圆上一点q，且cos∠f1qf2=，求椭圆的离心率；
3）在（2）的条件下，若|oq|=，求椭圆的方程．
1）证明：设p（x,y）是圆上的任意一点， =3
=35分。2）解：在△f1qf2中，f1f2=2c，q在圆上，设|qf2|=x，则|qf1|=3x，椭圆半长轴长为2x，4c2=x2＋9x2－6x2×，5c2=8x2
e2=，e11分。
3）由（2）知，x=，即|qf2|=，则|qf1|=3
由于|oq|=，c=2，进一步由e= =得到a2=10，b2=6
所求椭圆方程是．
9. （本小题满分16分）已知直线与椭圆相交于a、b两点，且线段ab的中点在直线上。
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