圆锥曲线的高考大题。
21．04.（本小题满分12分）
设是一常数，过点的直线与抛物线交于相异两点a、b，以线段ab为直经作圆h（h为圆心）试证抛物线顶点在圆h的圆周上；并求圆h的面积最小时直线ab的方程。
解法一：由题意，直线ab不能是水平线， 故可设直线方程为：.
又设，则其坐标满足。
消去x得 由此得
因此。故o必在圆h的圆周上。
又由题意圆心h（）是ab的中点，故。
由前已证，oh应是圆h的半径，且。
从而当k=0时，圆h的半径最小，亦使圆h的面积最小。
此时，直线ab的方程为：x=2p.
解法二：由题意，直线ab不能是水平线，故可设直线方程为：ky=x－2p
又设，则其坐标满足。
分别消去x，y得。
故得a、b所在圆的方程。
明显地，o（0，0）满足上面方程所表示的圆上，又知a、b中点h的坐标为。
故 而前面圆的方程可表示为。
故|oh|为上面圆的半径r，从而以ab为直径的圆必过点o（0，0）.
又，故当k=0时，r2最小，从而圆的面积最小，此时直线ab的方程为：x=2p.
解法三：同解法一得o必在圆h的圆周上。
又直径|ab|=
上式当时，等号成立，直径|ab|最小，从而圆面积最小。
此时直线ab的方程为x=2p.
21．05（本小题满分12分）
已知椭圆c1的方程为，双曲线c2的左、右焦点分别为c1的左、右顶点，而c2的左、右顶点分别是c1的左、右焦点。
（ⅰ）求双曲线c2的方程；
ⅱ）若直线与椭圆c1及双曲线c2都恒有两个不同的交点，且l与c2的两个交点a和b满足（其中o为原点），求k的取值范围。
解：（ⅰ设双曲线c2的方程为，则。
故c2的方程为。
ii）将。由直线l与椭圆c1恒有两个不同的交点得。
即。由直线l与双曲线c2恒有两个不同的交点a，b得。
解此不等式得。
由①、②得。
故k的取值范围为。
22）06..(本小题满分12分)已知一列椭圆， n = 1, 2, …若椭圆cn上有一点pn, 使pn到右准线ln的距离dn是| pn fn |与| pn gn |的等差中项， 其中fn、gn分别是cn
的左、右焦点．
ⅰ）试证： （n≥1）；
ⅱ）取，并用sn表示△pnfngn的面积，试证： （n≥3）
证：（ⅰ由题设及椭圆的几何性质有。
设，则右准线方程为。
因此，由题意d应满足。即。即。
从而对任意。
设点pn的坐标为及椭圆方程易知。
因的面积为，从而。
令，由。得两根从而易知函数内是增函数，而在。
内是减函数。
现在由题设取是增数列，又易知。
故由前已证，知s1(22) (本小题满分12分)如图，中心在原点o的椭圆的右焦点为f（3，0），右准线l的方程为：x = 12。
1）求椭圆的方程；(4分)
2）在椭圆上任取三个不同点，使，证明： 为定值，并求此定值。(8分)
解：（i）设椭圆方程为．
因焦点为，故半焦距．
又右准线的方程为，从而由已知。
因此，．故所求椭圆方程为．
ii）记椭圆的右顶点为，并设（1，2，3），不失一般性，假设，且，．
又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有。
解得．因此。
而。故为定值．
21）（本小题满分12分，（ⅰ小问5分，（ⅱ小问7分。）
如图（21）图，m（-2，0）和n（2，0）是平面上的两点，动点p满足：
ⅰ）求点p的轨迹方程；
ⅱ）若，求点p的坐标。
解：(ⅰ由椭圆的定义，点p的轨迹是以m、n为焦点，长轴长2a=6的椭圆。
因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴。
b=，所以椭圆的方程为。
由得。因为不为椭圆长轴顶点，故p、m、n构成三角形。在△pmn中，
将①代入②，得。
故点p在以m、n为焦点，实轴长为的双曲线上。
由(ⅰ)知，点p的坐标又满足，所以。
由方程组解得。
即p点坐标为。
20．（本小题满分12分，（ⅰ问5分，（ⅱ问7分）
已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，是椭圆上的动点．
ⅰ）若的坐标分别是，求的最大值；
ⅱ）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：，．求线段的中点的轨迹方程；
解：（ⅰ由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a ＞b＞ 0 ）.
设，由准线方程得。由得，解得 a = 2 ,c = 从而 b = 1，椭圆方程为 .
又易知c，d两点是椭圆的焦点，所以，从而，当且仅当，即点m的坐标为时上式取等号，的最大值为4 .
ii）如图（20）图，设。
.因为，故。
因为。所以。
记p点的坐标为，因为p是bq的中点。
所以 由因为 ，结合①，②得。
故动点p的估计方程为。
20) (本小题满分12分，(ⅰ小问5分，(ⅱ小问7分．)
已知以原点o为中心，为右焦点的双曲线c的离心率。
ⅰ）求双曲线c的标准方程及其渐近线方程；
ⅱ）如题（20）图，已知过点的直线：与过点（其中）的直线：的交点e在双曲线c上，直线mn与双曲线的两条渐近线分别交于g、h两点，求△ogh的面积．
20．如下图，椭圆的中心为原点o，离心率，一条准线的方程为。
1)求该椭圆的标准方程；
2)(理)设动点p满足：，其中m，n是椭圆上的点，直线om与on的斜率之积为，问：是否存在两个定点f1，f2，使得|pf1|＋|pf2|为定值？
若存在，求f1，f2的坐标；若不存在，说明理由．
20．解：(1)由，解得a＝2，，b2＝a2－c2＝2，故椭圆的标准方程为。
2)设p(x，y)，m(x1，y1)，n(x2，y2)，则由得(x，y)＝(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(x1＋2x2，y1＋2y2)，即x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2.
因为点m，n在椭圆x2＋2y2＝4上，所以，故。
设kom，kon分别为直线om，on的斜率，由题设条件知，因此x1x2＋2y1y2＝0，所以x2＋2y2＝20.
所以p点是椭圆上的点．设该椭圆的左、右焦点为f1、f2，则由椭圆的定义|pf1|＋|pf2|为定值，又因，因此两焦点的坐标分别为f1，f2．
20．如图，设椭圆的中心为原点o，长轴在x轴上，上顶点为a，左、右焦点分别为f1，f2，线段of1，of2的中点分别为b1，b2，且△ab1b2是面积为4的直角三角形．
1)求该椭圆的离心率和标准方程；
2)过b1作直线l交椭圆于p，q两点，使pb2⊥qb2，求直线l的方程．
解：(1)如图，设所求椭圆的标准方程为(a＞b＞0)，右焦点为f2(c,0)．
因△ab1b2是直角三角形，又|ab1|=|ab2|，故∠b1ab2为直角，因此|oa|＝|ob2|，得，结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率。
在rt△ab1b2中，oa⊥b1b2，故＝·|b1b2|·|oa|＝|ob2|·|oa|＝·b＝b2.
由题设条件得b2＝4，从而a2＝5b2＝20，因此所求椭圆的标准方程为。
2)由(1)知b1(－2,0)，b2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0，设p(x1，y1)，q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此，又＝(x1－2，y1)，＝x2－2，y2)，所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝(my1－4)·(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16＝.
由pb2⊥qb2，得·＝0，即16m2－64＝0，解得m＝±2.
所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.
21）（本小题满分12分，（ⅰ小问4分，（ⅱ小问8分）如题（21）图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，．
ⅰ）求该椭圆的标准方程；
ⅱ）取垂直于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、，过、作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外．若⊥，求圆的标准方程．
2024年重庆卷（理21）】如下图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为。
1）求该椭圆的标准方程；
2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径。
解：（1）设，代入椭圆方程中求出，故，而。
由已知：，联立解出。
即，联立解出。
所以椭圆的标准方程为。
2）由于所求圆的圆心在轴上，故圆和椭圆的两个交点关于轴对称，从而经过点所作的切线也关于轴对称，如下图所示。
当切线互相垂直时，设两条切线交于点，则恰好形成一个边长为正方形。其中表示圆的半径，由几何关系，因为。
所以， 故所求圆的半径为。
04圆锥曲线
专题四 圆锥曲线。1 1991年全国 某双曲线的中心在坐标原点o，焦点在x轴上，又过它的右焦点且斜率为的直线交它于p q两点，若op oq，求该双曲线的方程。2 1991年上海 如图，设一动直线l，过定点a 2，0 且与抛物线相交于不同的两点b和c，点b c在x轴上的射影分别是b1 c1，p是线段b...
2圆锥曲线
1.将圆平分的直线是。2.已知abc的顶点a 5，1 ab边上的中线cm所在直线方程为，ac边上的高bh所在直线方程为，求直线bc的方程。3.在平面直角坐标系中，曲线与直线坐标的交点在圆c上，1 求圆的方程。2 若圆c与直线交于a,b，且oa垂直ob，求的值。4.已知圆的方程为 过定点a 1，2 若...
2024年圆锥曲线
2011年全国统一考试理科数学大纲版。10 已知抛物线c 的焦点为f，直线与c交于a，b两点 则 a b c d 15 已知f1 f2分别为双曲线c 1的左 右焦点，点a c，点m的坐标为 2，0 am为 f1af2的平分线 则 af2 21 已知o为坐标原点，f为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过f且斜...