07．（本小题满分12分）
已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．
i）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
ii）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：由条件知，，设，．
解法一：（i）设，则则，由得。
即。于是的中点坐标为．
当不与轴垂直时，，即．
又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得。
即．将代入上式，化简得．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
所以点的轨迹方程是．
ii）假设在轴上存在定点，使为常数．
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入有．则是上述方程的两个实根，所以，于是。
因为是与无关的常数，所以，即，此时=．
当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，此时．
故在轴上存在定点，使为常数．
解法二：（i）同解法一的（i）有。
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入有．则是上述方程的两个实根，所以．
由①②③得。
当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有。
整理得．当时，点的坐标为，满足上述方程．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
故点的轨迹方程是．
ii）假设在轴上存在定点点，使为常数，当不与轴垂直时，由（i）有，．
以上同解法一的（ii）．
06.（本小题满分14分）
已知椭圆c1：，抛物线c2：，且c1、c2的公共弦ab过椭圆c1的右焦点。
ⅰ）当轴时，求p、m的值，并判断抛物线c2的焦点是否在直线ab上；
（ⅱ）若且抛物线c2的焦点在直线ab上，求m的值及直线ab的方程。
解 （ⅰ当ab⊥x轴时，点a、b关于x轴对称，所以m＝0，直线ab的方程为。
x=1，从而点a的坐标为（1，）或（1，－）
因为点a在抛物线上，所以，即。
此时c2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线ab上。
（ⅱ）解法一当c2的焦点在ab时，由（ⅰ）知直线ab的斜率存在，设直线ab的方程为。
由消去y得。
设a、b的坐标分别为（x1,y1）, x2,y2）,则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝.
因为ab既是过c1的右焦点的弦，又是过c2的焦点的弦，所以，且。
从而。所以，即。
解得。因为c2的焦点在直线上，所以。
即。当时，直线ab的方程为；
当时，直线ab的方程为。
解法二当c2的焦点在ab时，由（ⅰ）知直线ab的斜率存在，设直线ab的方程。
为。由消去y得。
因为c2的焦点在直线上，所以，即。代入①有。
即。设a、b的坐标分别为（x1,y1）, x2,y2）,则x1,x2是方程②的两根，x1＋x2＝.
由消去y得。
由于x1,x2也是方程③的两根，所以x1＋x2＝.
从而＝. 解得。
因为c2的焦点在直线上，所以。
即。当时，直线ab的方程为；
当时，直线ab的方程为。
解法三设a、b的坐标分别为（x1,y1）, x2,y2）,因为ab既过c1的右焦点，又是过c2的焦点，所以。
即。由（ⅰ）知，于是直线ab的斜率， …
且直线ab的方程是，所以。
又因为，所以。
将①、②代入④得，即。
当时，直线ab的方程为；
当时，直线ab的方程为。
05．（本小题满分14分）
已知椭圆c：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为f1、f2，离心率为e. 直线。
l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点a、b，m是直线l与椭圆c的一个公共点，p是点f1关于直线l的对称点，设＝λ.
（ⅰ）证明：λ＝1－e2；
（ⅱ）确定λ的值，使得△pf1f2是等腰三角形。
解：（i），则。
因为函数h(x)存在单调递减区间，所以<0有解。
又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解。
当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；
当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解；
则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根。此时，－1 综上所述，a的取值范围为（－1，0）∪（0，+∞
（ii）证法一设点p、q的坐标分别是（x1, y1），（x2, y2），0 则点m、n的横坐标为。
c1在点m处的切线斜率为。
c2在点n处的切线斜率为。
假设c1在点m处的切线与c2在点n处的切线平行，则k1=k2.
即，则。所以设则①
令则。因为时，，所以在）上单调递增。 故。
则。 这与①矛盾，假设不成立。
故c1在点m处的切线与c2在点n处的切线不平行。
证法二：同证法一得。
因为，所以。
令，得 ②令。
因为，所以时，
故在[1，+上单调递增。从而，即。
于是在[1，+上单调递增。
故即这与②矛盾，假设不成立。
故c1在点m处的切线与c2在点n处的切线不平行。
04．（本小题满分12分）
如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点p（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于a，b两点，点q是点p关于原点的对称点。
i）设点p分有向线段所成的比为，证明： ；
ii）设直线ab的方程是x-2y+12=0，过a、b两点的圆c与抛物线在点a处有共同的切线，求圆c的方程。
解：（ⅰ依题意，可设直线ab的方程为代入抛物线方程得
设a、b两点的坐标分别是、，则、x2是方程①的两根。
所以 由点p（0，m）分有向线段所成的比为，得，即。
又点q是点p关于原点的对称点，故点q的坐标是（0，－m），从而。
所以 ⅱ）由得点a、b的坐标分别是（6，9）、（4，4）.
由得。所以抛物线在点a处切线的斜率为。
设圆c的方程是。
则。解之得。
所以圆c的方程是即
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