考点二定点（定值）问题。
解析几何中的定值问题可运用函数的思想来解决。
总结：变量推出函数，函数推出定值。
常见方法：1 从特殊值入手，求出定值，在证明这个值与变量无关。
2 直接推理，计算并在计算过程中消去变量，得到定值。
例1 19．（2024年江苏省16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．
1）求椭圆的方程；
2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点p．（i）若，求直线的斜率；
ii）求证：是定值．
答案】解：（1）由题设知，，由点在椭圆上，得。
∴。由点在椭圆上，得。
椭圆的方程为。
2）由（1）得，，又∵∥，设、的方程分别为，。
同理，。②（i）由①②得，。解得=2。
∵注意到，∴。直线的斜率为。
（ii）证明：∵∥即。 ∴
由点在椭圆上知，，∴同理。。
由①②得，∴。是定值。
考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。
练习。在平面直角坐标系中，已知双曲线。
（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（4分）
（2）设斜率为1的直线l交于p、q两点，若l与圆相切，求证： op⊥oq；（6分）
（3）设椭圆。 若m、n分别是、上的动点，且om⊥on，求证：o到直线mn的距离是定值。（6分）
解]（1）双曲线，左顶点，渐近线方程：.
过点a与渐近线平行的直线方程为，即。
解方程组，得2分。
所以所求三角形的面积1为4分。
（2）设直线pq的方程是。因直线与已知圆相切，故，即6分。
由，得。设p(x1, y1)、q(x2, y2)，则。
又2，所以。
故op⊥oq10分。
（3）当直线on垂直于x轴时，on|=1，|om|=，则o到直线mn的距离为。
当直线on不垂直于x轴时，设直线on的方程为（显然），则直线om的方程为。
由，得，所以。
同理13分。
设o到直线mn的距离为d，因为，所以，即d=.
综上，o到直线mn的距离是定值16分。
例2（本小题满分13分）
椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.
ⅰ）求椭圆的方程；
点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接。设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；
ⅲ）在（ⅱ）的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点。设直线的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值。
解：（ⅰ由于，将代入椭圆方程，得，由题意知，即。 又，所以。
所以椭圆的方程为。
（ⅱ）解法一：
设。又，所以直线的方程分别为：
由题意知 ，由于点在椭圆上，所以，因为，可得。
所以。因此。
解法二：设，当时，当时，直线的斜率不存在，易知或。若，则直线的方程为。
由题意得，因为，所以。
若，同理可得。当时，设直线的方程分别为 ，由题意知 ，所以 ，因为并且 ，所以。
即 .因为所以 .
整理得 ，故 .
综合①②可得 .
当时，同理可得 .
综上所述，的取值范围是。
ⅲ）设，则直线的方程为，联立整理得
由题意 ， 即
又所以 故由（ⅱ）知 ，所以 ，因此为定值，这个定值为。
例3(2024年高考江西卷理科20)（本小题满分13分）
是双曲线e：上一点，m，n分别是双曲线e的左、右顶点，直线pm，pn的斜率之积为．
1）求双曲线的离心率；
2）过双曲线e的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于a，b两点，o为坐标原点，c为双曲线上一点，满足，求的值．
又，所以，所以或。
练习．（本小题满分13分）
在直角坐标系xoy中，曲线上的点均在圆外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值。
ⅰ）求曲线的方程；
ⅱ）设为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和。证明：当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值。
21、 【解析】（ⅰ
（ⅱ）由已知，可设切线斜率为，易知存在且不为0.
由点线距公式可得：——1）
联立切线和方程得：
故。由（1）可得。
代入得。当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值6400.
定直线。18．(2013安徽，理18)(本小题满分12分)设椭圆e：的焦点在x轴上． (1)若椭圆e的焦距为1，求椭圆e的方程；
2)设f1，f2分别是椭圆e的左、右焦点，p为椭圆e上第一象限内的点，直线f2p交y轴于点q，并且f1p⊥f1q.证明：当a变化时，点p在某定直线上．
18．解：(1)因为焦距为1，所以2a2－1＝，解得a2＝.故椭圆e的方程为。
2)设p(x0，y0)，f1(－c,0)，f2(c,0)，其中。
由题设知x0≠c，则直线f1p的斜率＝，直线f2p的斜率＝，故直线f2p的方程为y＝．
当x＝0时，y＝，即点q坐标为。因此，直线f1q的斜率为＝.
由于f1p⊥f1q，所以＝＝－1.
化简得．①将①代入椭圆e的方程，由于点p(x0，y0)在第一象限，解得x0＝a2，y0＝1－a2，即点p在定直线x＋y＝1上．
19）（本小题共14分）
已知曲线： ．
ⅰ）若曲线是焦点在轴点上的椭圆，求的取值范围；
ⅱ）设，曲线与轴的交点为、（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点、，直线与直线交于点．求证：三点共线．
19．（1）原曲线方程可化简得：
由题意可得：，解得：
2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，解得：
由韦达定理得：①，
设，， 方程为：，则，欲证三点共线，只需证，共线。
即成立，化简得：
将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。
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