圆锥曲线的综合问题

题型一圆锥曲线中的范围、最值问题。

例1 已知中心在原点的双曲线c的右焦点为(2,0)，实半轴长为。

1)求双曲线c的方程；

2)若直线l：y＝kx＋与双曲线c的左支交于a，b两点，求k的取值范围；

3)在(2)的条件下，线段ab的垂直平分线l0与y轴交于m(0，b)，求b的取值范围．

题型二圆锥曲线中的定点、定值问题。

例2 已知直线l：y＝x＋，圆o：x2＋y2＝5，椭圆e：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线l被圆o截得的弦长与椭圆的短轴长相等．

1)求椭圆e的方程；(2)过圆o上任意一点p作椭圆e的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．

例3 已知动圆过定点a(4,0)，且在y轴上截得弦mn的长为8.

1)求动圆圆心的轨迹c的方程；

2)已知点b(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹c交于不同的两点p，q，若x轴是∠pbq的角平分线，证明直线l过定点．

题型三圆锥曲线中的存在性问题。

例4 如图，椭圆的中心为原点o，离心率e＝，且＝2.

1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点p满足＝＋2，其中m、n是椭圆上的点，直线om与on的斜率之积为－.问：是否存在两个定点f1，f2，使得|pf1|＋|pf2|为定值？

若存在，求f1，f2的坐标；若不存在，说明理由．

练习。1抛物线的顶点o在坐标原点，焦点在y轴负半轴上，过点m(0，－2)作直线l与抛物线相交于a，b两点，且满足＋＝(4，－12)．(1)求直线l和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点p从点a运动到点b时，求△abp面积的最大值．

2．在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆c 上的点到点q(0,2)的距离的最大值为3.

1)求椭圆c的方程．(2)在椭圆c上，是否存在点m(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆o：x2＋y2＝1相交于不同的两点a、b，且△oab的面积最大？

若存在，求出点m的坐标及对应的△oab的面积；若不存在，请说明理由．

圆锥曲线的综合问题。

题型一圆锥曲线中的范围、最值问题。

例1 已知中心在原点的双曲线c的右焦点为(2,0)，实半轴长为。

1)求双曲线c的方程；

2)若直线l：y＝kx＋与双曲线c的左支交于a，b两点，求k的取值范围；

3)在(2)的条件下，线段ab的垂直平分线l0与y轴交于m(0，b)，求b的取值范围．

解 (1)设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)，由已知，得a＝，c＝2，b2＝c2－a2＝1，故双曲线方程为－y2＝1.

2)设a(xa，ya)，b(xb，yb)，将y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.

由题意，知解得所以当(3)由(2)，得xa＋xb＝，所以ya＋yb＝(kxa＋)＋kxb＋)

k(xa＋xb)＋2＝，所以ab中点p的坐标为。

设l0的方程为y＝－x＋b，将p点的坐标代入l0的方程，得b＝，题型二圆锥曲线中的定点、定值问题。

例2 已知直线l：y＝x＋，圆o：x2＋y2＝5，椭圆e：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线l被圆o截得的弦长与椭圆的短轴长相等．

1)求椭圆e的方程；(2)过圆o上任意一点p作椭圆e的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．

1)解设椭圆的半焦距为c，圆心o到直线l的距离d＝＝，b＝＝.

由题意得，∴a2＝3，b2＝2.∴椭圆e的方程为＋＝1.

2)证明设点p(x0，y0)，过点p的椭圆e的切线l0的方程为y－y0＝k(x－x0)，联立直线l0与椭圆e的方程得，消去y得(3＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－6＝0，δ＝4k(y0－kx0)]2－4(3＋2k2)[2(kx0－y0)2－6]＝0，整理得，(2－x)k2＋2kx0y0－(y－3)＝0，设满足题意的椭圆e的两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－，点p在圆o上，∴x＋y＝5，∴k1·k2＝－＝1.

两条切线的斜率之积为常数－1.

例3 已知动圆过定点a(4,0)，且在y轴上截得弦mn的长为8.

1)求动圆圆心的轨迹c的方程；

2)已知点b(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹c交于不同的两点p，q，若x轴是∠pbq的角平分线，证明直线l过定点．

1)如图，设动圆圆心o1(x，y)，由题意，|o1a|＝|o1m|，当o1不在y轴上时，过o1作o1h⊥mn交mn于h，则h是mn的中点，|o1m|＝，又|o1a|＝，化简得y2＝8x(x≠0)．又当o1在y轴上时，o1与o重合，点o1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹c的方程为y2＝8x.

2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，p(x1，y1)，q(x2，y2)，将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0，其中δ＝－32kb＋64>0.

由根与系数的关系得，x1＋x2＝，①x1x2＝，②

因为x轴是∠pbq的角平分线，所以＝－，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，2kx1x2＋(k＋b)(x1＋x2)＋2b＝0，③

将①②代入③，得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，k＝－b，此时δ>0，∴直线l的方程为y＝k(x－1)，∴直线l过定点(1,0)．

题型三圆锥曲线中的存在性问题。

例4 如图，椭圆的中心为原点o，离心率e＝，且＝2.

1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点p满足＝＋2，其中m、n是椭圆上的点，直线om与on的斜率之积为－.问：是否存在两个定点f1，f2，使得|pf1|＋|pf2|为定值？

若存在，求f1，f2的坐标；若不存在，说明理由．

解 (1)由e＝＝，2，解得a＝2，c＝，b2＝a2－c2＝2，故椭圆的标准方程为＋＝1.

2)设p(x，y)，m(x1，y1)，n(x2，y2)，则由＝＋2，得(x，y)＝(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(x1＋2x2，y1＋2y2)，即x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2.因为点m、n在椭圆x2＋2y2＝4上，所以x＋2y＝4，x＋2y＝4，故x2＋2y2＝(x＋4x＋4x1x2)＋2(y＋4y＋4y1y2)

(x＋2y)＋4(x＋2y)＋4(x1x2＋2y1y2)＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．

设kom，kon分别为直线om，on的斜率，由题设条件知kom·kon＝＝－因此x1x2＋2y1y2＝0，所以x2＋2y2＝20.

所以p点是椭圆＋＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为f1、f2，则由椭圆的定义|pf1|＋|pf2|为定值，又因c＝＝，因此两焦点的坐标为f1(－，0)，f2(，0)．

解 (1)根据题意可设直线l的方程为y＝kx－2，抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)．

由得x2＋2pkx－4p＝0.[2分]设点a(x1，y1)，b(x2，y2)，则。

x1＋x2＝－2pk，y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4.

所以＋＝(4，－12)，所以解得。

故直线l的方程为y＝2x－2，抛物线的方程为x2＝－2y.[6分]

2)设p(x0，y0)，依题意，知当抛物线过点p的切线与l平行时，△abp的面积最大．

对y＝－x2求导，得y′＝－x，所以－x0＝2，即x0＝－2，y0＝－x＝－2，即p(－2，－2)．此时点p到直线l的距离。

d＝＝＝由得x2＋4x－4＝0，则x1＋x2＝－4，x1x2＝－4，ab|＝·4.

于是，△abp面积的最大值为×4×＝8.

2．在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆c 上的点到点q(0,2)的距离的最大值为3.

1)求椭圆c的方程．(2)在椭圆c上，是否存在点m(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆o：x2＋y2＝1相交于不同的两点a、b，且△oab的面积最大？

若存在，求出点m的坐标及对应的△oab的面积；若不存在，请说明理由．

解 (1)∵e2＝＝＝a2＝3b2，∴椭圆方程为＋＝1，即x2＋3y2＝3b2.

设椭圆上的点到点q(0,2)的距离为d，则。

d＝＝＝，当y＝－1时，d取得最大值，dmax＝＝3，解得b2＝1，∴a2＝3.

椭圆c的方程为＋y2＝1.

2)假设存在点m(m，n)满足题意，则＋n2＝1，即m2＝3－3n2.设圆心到直线l的距离为d′，则d′<1，d′＝＝ab|＝2＝2.

s△oab＝|ab|d′＝·2·＝.

d′<1，∴m2＋n2>1，∴0<<1，∴1－>0.

s△oab＝≤＝当且仅当＝1－，即m2＋n2＝2>1时，s△oab取得最大值。

由得。存在点m满足题意，m点坐标为，，或。

此时△oab的面积为。

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