知识要点。
一、 对称问题是解析几何中的一个重要问题，主要类型有：
1、 点关于点成中心对称问题（即线段重点坐标公式的应用问题）
设点，对称中心为，则点关于的对称点为。
2、 点关于直线成轴对称问题。
由轴对称定义可知，对称轴即为两对称点连线的垂直平分线，利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程，就可以求出对称点的坐标，一般情形如下：
设点关于直线的对称点为，则有。
可求得；特殊情形：
1 点关于直线对称的点为；
2 点关于直线对称的点为；
3 若对称轴的斜率为，则可把直接代入对称轴方程求得对称点的坐标。
3、 直线关于直线轴对称问题。
求直线关于直线的对称直线有以下两种解法：
1 转化为直线上的点关于直线的对称问题；
2 转化为角相等问题（这种解法文科不予以考虑）
3 特殊情形：直线和直线平行，则直线关于直线对称的直线也与直线平行，且到的距离等于到的距离，由两条平行线之间的距离公式即可求得。
4、 曲线关于点，曲线关于直线的中心或轴对称问题。
曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般转化为点的中心或轴对称（这里既可以选择特殊点，也可以选择任意点实现转化）.一般结论如下：
1 曲线关于已知点对称的曲线方程是。
2 曲线关于已知直线的对称曲线的求法：
设曲线上任意一点，点关于直线的对称点为，则与坐标满足。
从中解出，代入已知曲线，即应用利用坐标代换法就可以求出曲线关于直线的对称曲线的方程，若对称轴的斜率为，则可直接代入求得对称轴曲线方程。
5、 解析几何中对称问题与函数图象中的对称问题具有一致性，可以互为参照。
二、 圆锥曲线的综合问题主要体现在**与圆锥曲线有关的定值、最值、参数范围问题。
1、 定值问题指会处理动曲线（含直线）过定点的问题以及会证明与曲线上的动点有关的定值问题。
2、 圆锥曲线中最值问题以及变量的取值范围问题的求解：一是注意题中图形的几何特征，充分考虑图形的性质；二是运用函数思想、建立目标函数、求解最值，也即是几何法与代数法两种不同的处理方法，几何法常须扣住圆锥曲线的定义并和平面几何有关的结论巧妙结合，代数法则常把有关问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用配方法、基本不等式、函数单调性或三角函数的有界性来解。
经典例题。例1 已知椭圆的焦点，且与直线有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程。
解法一：利用圆锥曲线的定义：先求得关于直线对称的点，且直线与动椭圆交点为，当为直线与椭圆的交点时（即三点共线）椭圆的长轴最短，即。
取，此时椭圆方程为。
解法二：设椭圆为，与直线联立方程组并消去得。
由题设。此时椭圆方程为。
解法三：设椭圆为直线的公共点为，则有解。
由辅助角公式上式可以化为。
此时椭圆方程为。
例2 已知椭圆方程，试确定的取值范围，使得对于直线在椭圆上有不同的两点关于这条直线对称。
解题策略：直线与圆锥曲线的位置关系涉及对称问题，一般有两种方法：一是通过韦达定理处理中点弦问题，得到关于参数的的关系式，再由联立可得参数的范围，对称常出现的问题在前面知识讲解的时候已经阐述；二是巧用“点关系”，可以处理弦的中点和斜率问题，但要注意对该直线与曲线是否有两个公共点，要作出必要的判断。
解法一： 设与直线垂直的直线为，将该直线与联立组成方程组得，由题意得。
又由。解法二：设，的中点，则。
两式相减，得。
由题意得。又在直线上，所以。
因为点在椭圆内部，所以。
故。例3 定值问题。
已知椭圆经过点两个焦点为。
1） 求椭圆的方程；
2） 是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值。
解：（1）由题意，可设椭圆的方程为，将点的坐标代入这个式子，得，解得（舍去），所以椭圆的方程为。
3） 设直线的方程为，代入得。
设， 由点在椭圆上，又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式之中以代替，可得。
所以直线的斜率。
例4 范围问题。
已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，点是弦的中点。
1） 若，求点的轨迹方程；
2） 求的取值范围。
解：（1）①若直线//轴，则点为。
设直线：，并设点的坐标分别是，则。
消去得 （）
由直线与椭圆有两个不同交点，可得。
由及方程（）得。
即由于（否则直线与椭圆无公共点），将以上方程组两式相除得，代入到方程中，整理得。
综上所述，点的轨迹方程为。
2） 当直线//轴时，分别是椭圆长轴的两个端点，则点在原点处，所以；
由方程（）得。
例5 最值问题。
已知点分别是椭圆的左顶点和上顶点，点是线段上的任意一点，点分别是椭圆的左、右焦点，且的最大值是1，最小值是。
1） 求椭圆的方程；
2） 设椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点，求线段的长度的最小值；
3） 当线段长度取得最小值时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积是？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由。
解：设， ，则，**段上，可以看成线段上的点到原点距离的平方，结合图形可以知道当点运动到点时取得最大，最大值为，所以的最大值为。
当时，取得最小值，最小值运用等面积法可以得到的最小值为，所以的最小值为。
又的最大值是1，最小值是，所以，解得，所以椭圆的方程是。
直线的斜率为，显然存在，且，故可设直线的方程为，从而，由得。
设，则，又由得。
故。当且仅当即时等号成立。
时线段长度取得最小值。
3） 由（2）知，当取最小值时，此时的方程为。
要使椭圆上存在点使得的面积是，只需点到直线的距离为，所以在平行于且与的距离等于的直线上。
设直线的方程为，则由解得或。
当时，由得，由于，故直线与椭圆有两个不同的交点。
当时，由得，由于，故直线与椭圆没有交点。
综上所述，当线段长度取得最小值时，在椭圆上仅存在这两个点，使得的面积是。
例6 已知曲线的方程为。
1） 若曲线是椭圆，求的取值范围；
2） 若曲线是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是，求此双曲线的方程；
3） 满足（2）的双曲线上是否存在两点关于直线对称，若存在，求出的直线方程；若不存在，请说明理由。
解：（1）当时，曲线表示直线。
当时，方程为 ①
上式表示椭圆的充要条件是即是或。
2） 方程①表示双曲线的充要条件是，即或或。
1 当或时，双曲线的焦点在轴上，，，其一条渐近线的斜率为。
2 当时，双曲线的焦点在轴上，，，其一条渐近线的斜率为（舍）.
综上，双曲线的方程为。
3） 若存在，设直线的方程为，由消去得：
设的中点是，则，点在直线上，，解得，且此时方程②的。
故存在满足条件的点，直线的方程为。
圆锥曲线综合问题研究
考点二定点 定值 问题。解析几何中的定值问题可运用函数的思想来解决。总结 变量推出函数，函数推出定值。常见方法 1 从特殊值入手，求出定值，在证明这个值与变量无关。2 直接推理，计算并在计算过程中消去变量，得到定值。例1 19 2012年江苏省16分 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左 右焦点分别为...
圆锥曲线的综合问题
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圆锥曲线问题
会考真题。1.2014年1月 设双曲线c 的一个顶点坐标为 2，0 则双曲线c的方程是 abc.d.2.2014年1月 设椭圆 的焦点为f1，f2，若椭圆上存在点p，使 p f1f2是以f1p为底边的等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是 abcd.3.2014年1月，解答题 本题8分 如图，设直线...