圆锥曲线压轴

圆锥曲线。

1．[2014·四川卷] 已知椭圆c：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．

1)求椭圆c的标准方程．

2)设f为椭圆c的左焦点，t为直线x＝－3上任意一点，过f作tf的垂线交椭圆c于点p，q.

证明：ot平分线段pq(其中o为坐标原点)；②当最小时，求点t的坐标．

1．解：(1)由已知可得解得a2＝6，b2＝2，所以椭圆c的标准方程是＋＝1.

2)①证明：由(1)可得，f的坐标是(－2，0)，设t点的坐标为(－3，m)，则直线tf的斜率ktf＝＝－m.

当m≠0时，直线pq的斜率kpq＝.直线pq的方程是x＝my－2.

当m＝0时，直线pq的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．

设p(x1，y1)，q(x2，y2)，将直线pq的方程与椭圆c的方程联立，得。

消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，其判别式δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.

所以y1＋y2＝，y1y2＝，x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.

设m为pq的中点，则m点的坐标为。所以直线om的斜率kom＝－，又直线ot的斜率kot＝－，所以点m在直线ot上，因此ot平分线段pq.

由①可得，|tf|＝，pq|＝

所以＝＝≥当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．

故当最小时，t点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．

2．[2014·重庆卷] 如图14所示，设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为f1，f2，点d在椭圆上，df1⊥f1f2，＝2，△df1f2的面积为。

1)求椭圆的标准方程；

2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．

图142．解：(1)设f1(－c，0)，f2(c，0)，其中c2＝a2－b2.由＝2得|df1|＝＝c.

从而s△df1f2＝|df1||f1f2|＝c2＝，故c＝1.

从而|df1|＝，由df1⊥f1f2得|df2|2＝|df1|2＋|f1f2|2＝，因此|df2|＝，所以2a＝|df1|＋|df2|＝2，故a＝，b2＝a2－c2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.

2)如图所示，设圆心在y轴上的圆c与椭圆＋y2＝1相交，p1(x1，y1)，p2(x2，y2)是两个交点，y1>0，y2>0，f1p1，f2p2是圆c的切线，且f1p1⊥f2p2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2＝－x1，y1＝y2，|p1p2|＝2|x1|.

由(1)知f1(－1，0)，f2(1，0)，所以＝(x1＋1，y1)，＝x1－1，y1)．再由f1p1⊥f2p2得－(x1＋1)2＋y＝0.由椭圆方程得1－＝(x1＋1)2，即3x＋4x1＝0，解得x1＝－或x1＝0.

当x1＝0时，p1，p2重合，此时题设要求的圆不存在．

当x1＝－时，过p1，p2分别与f1p1，f2p2垂直的直线的交点即为圆心c.

由f1p1，f2p2是圆c的切线，且f1p1⊥f2p2，知cp1⊥cp2.又|cp1|＝|cp2|，故圆c的半径|cp1|＝|p1p2|＝|x1|＝.

3． [2014·湖南卷] 如图17，o为坐标原点，椭圆c1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为f1，f2，离心率为e1；双曲线c2：－＝1的左、右焦点分别为f3，f4，离心率为e2.

已知e1e2＝，且|f2f4|＝－1.

1)求c1，c2的方程；

2)过f1作c1的不垂直于y轴的弦ab，m为ab的中点．当直线om与c2交于p，q两点时，求四边形apbq面积的最小值．

图173．解： (1)因为e1e2＝，所以·＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝2b2，从而f2(b，0)，f4(b，0)，于是b－b＝|f2f4|＝－1，所以b＝1，a2＝2.故c1，c2的方程分别为＋y2＝1，－y2＝1.

2)因ab不垂直于y轴，且过点f1(－1，0)，故可设直线ab的方程为x＝my－1，由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.

易知此方程的判别式大于0.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1＋y2＝，y1y2＝.

因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，于是ab的中点为m，故直线pq的斜率为－，pq的方程为y＝－x，即mx＋2y＝0.

由得(2－m2)x2＝4，所以2－m2>0，且x2＝，y2＝，从而|pq|＝2＝2.设点a到直线pq的距离为d，则点b到直线pq的距离也为d，所以2d＝.因为点a，b在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝.

又因为|y1－y2|＝＝所以2d＝.

故四边形apbq的面积s＝|pq|·2d＝＝2·.

而0<2－m2≤2，故当m＝0时，s取最小值2.综上所述，四边形apbq面积的最小值为2.

4．[2014·江西卷] 如图17所示，已知双曲线c：－y2＝1(a>0)的右焦点为f，点a，b分别在c的两条渐近线上，af⊥x轴，ab⊥ob，bf∥oa(o为坐标原点)．

图171)求双曲线c的方程；

2)过c上一点p(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线af相交于点m，与直线x＝相交于点n.证明：当点p在c上移动时，恒为定值，并求此定值．

4．解：(1)设f(c，0)，因为b＝1，所以c＝.

由题意，直线ob的方程为y＝－x，直线bf的方程为y＝(x－c)，所以b.

又直线oa的方程为y＝x，则a，所以kab＝＝.

又因为ab⊥ob，所以·＝－1，解得a2＝3，故双曲线c的方程为－y2＝1.

2)由(1)知a＝，则直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝(y0≠0)．

因为直线af的方程为x＝2，所以直线l与af的交点为m，直线l与直线x＝的交点为n，，则＝＝＝

又p(x0，y0)是c上一点，则－y＝1，代入上式得＝·＝所以＝＝，为定值．

5.[2014·安徽卷] 如图14，已知两条抛物线e1：y2＝2p1x(p1＞0)和e2：

y2＝2p2x(p2＞0)，过原点o的两条直线l1和l2，l1与e1，e2分别交于a1，a2两点，l2与e1，e2分别交于b1，b2两点．

图141)证明：a1b1∥a2b2；

2)过o作直线l(异于l1，l2)与e1，e2分别交于c1，c2两点，记△a1b1c1与△a2b2c2的面积分别为s1与s2，求的值．

5．解：(1)证明：设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，则由得a1，由得a2.

同理可得b1，b2.所以＝＝2p1，＝2p2.故＝，所以a1b1∥a2b2

2)由(1)知a1b1∥a2b2，同理可得b1c1∥b2c2，c1a1∥c2a2，所以△a1b1c1∽△a2b2c2，因此＝

又由(1)中的＝||知，＝，故＝.

6．[2014·全国卷] 已知抛物线c：y2＝2px(p>0)的焦点为f，直线y＝4与y轴的交点为p，与c的交点为q，且|qf|＝|pq|.

1)求c的方程；

2)过f的直线l与c相交于a，b两点，若ab的垂直平分线l′与c相交于m，n两点，且a，m，b，n四点在同一圆上，求l的方程．

6．解：(1)设q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝，所以|pq|＝，qf|＝＋x0＝＋.

由题设得＋＝×解得p＝－2(舍去)或p＝2，所以c的方程为y2＝4x.

2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.

设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故线段的ab的中点为d(2m2＋1，2m)，ab|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．

又直线l ′的斜率为－m，所以l ′的方程为x＝－y＋2m2＋3.将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.设m(x3，y3)，n(x4，y4)，则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．

故线段mn的中点为e，|mn|＝|y3－y4|＝.

由于线段mn垂直平分线段ab，故a，m，b，n四点在同一圆上等价于|ae|＝|be|＝|mn|，从而|ab|2＋|de|2＝|mn|2，即4(m2＋1)2＋＋＝化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1，故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.

7. [2014·佛山质检] 已知椭圆c的左、右焦点分别为f1(－1，0)，f2(1，0)，且f2到直线x－y－9＝0的距离等于椭圆的短轴长．

1)求椭圆c的方程；

2)若圆p的圆心为p(0，t)(t>0)，且经过f1，f2，q是椭圆c上的动点且在圆p外，过点q作圆p的切线，切点为m，当|qm|的最大值为时，求t的值．

7解：(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．依题意可知，2b＝＝4，所以b＝2.

又c＝1，故a2＝b2＋c2＝5，故椭圆c的方程为＋＝1.

2)设q(x0，y0)，圆p的方程为x2＋(y－t)2＝t2＋1.

因为pm⊥qm，所以|qm|＝＝

若－4t≤－2，即t≥，当y0＝－2时，|qm|取得最大值，|qm|max＝＝，解得t＝< 舍去)．

圆锥曲线压轴

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高考压轴大题之圆锥曲线

数学高考圆锥曲线压轴题

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