2023年高考真题导数专题。
一．解答题（共12小题）
1．已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x．
1）讨论f（x）的单调性；
2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
2．已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．
1）求a；2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．
3．已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．
1）若 f（x）≥0，求a的值；
2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…1+）＜m，求m的最小值．
4．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈r）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
2）证明：b2＞3a；
3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．
5．设函数f（x）=（1﹣x2）ex．
1）讨论f（x）的单调性；
2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．
6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）．
1）求f（x）的导函数；
2）求f（x）在区间[，+上的取值范围．
7．已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．
ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π）处的切线方程；
ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈r），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
8．已知函数f（x）=excosx﹣x．
1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．
9．设a∈z，已知定义在r上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．
ⅰ）求g（x）的单调区间；
ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；
ⅲ）求证：存在大于0的常数a，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥．
10．已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈r，1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
11．设a，b∈r，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=exf（x）．
ⅰ）求f（x）的单调区间；
ⅱ）已知函数y=g（x）和y=ex的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；
ii）若关于x的不等式g（x）≤ex在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．
12．已知函数 f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x．
1）讨论 f（x）的单调性；
2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
2023年高考真题导数专题。
参***与试题解析。
一．解答题（共12小题）
1．（2017新课标ⅰ）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x．
1）讨论f（x）的单调性；
2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）ex﹣1，当a=0时，f′（x）=﹣2ex﹣1＜0，当x∈r，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2ex+1）（aex﹣1）=2a（ex+）（ex﹣），令f′（x）=0，解得：x=ln，当f′（x）＞0，解得：
x＞ln，当f′（x）＜0，解得：x＜ln，x∈（﹣ln）时，f（x）单调递减，x∈（ln，+∞单调递增；
当a＜0时，f′（x）=2a（ex+）（ex﹣）＜0，恒成立，当x∈r，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在r单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞ln）是减函数，在（ln，+∞是增函数；
2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，当a＞0时，f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x，当x→﹣∞时，e2x→0，ex→0，当x→﹣∞时，f（x）→+当x→∞，e2x→+∞且远远大于ex和x，当x→∞，f（x）→+函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可，由f（x）在（﹣∞ln）是减函数，在（ln，+∞是增函数，f（x）min=f（ln）=a×（）a﹣2）×﹣ln＜0，1﹣﹣ln＜0，即ln+﹣1＞0，设t=，则g（t）=lnt+t﹣1，（t＞0），求导g′（t）=+1，由g（1）=0，t=＞1，解得：0＜a＜1，a的取值范围（0，1）．
方法二：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）ex﹣1，当a=0时，f′（x）=2ex﹣1＜0，当x∈r，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2ex+1）（aex﹣1）=2a（ex+）（ex﹣），令f′（x）=0，解得：x=﹣lna，当f′（x）＞0，解得：
x＞﹣lna，当f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna，x∈（﹣lna）时，f（x）单调递减，x∈（﹣lna，+∞单调递增；
当a＜0时，f′（x）=2a（ex+）（ex﹣）＜0，恒成立，当x∈r，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在r单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞lna）是减函数，在（﹣lna，+∞是增函数；
2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，当a＞0时，由（1）可知：当x=﹣lna时，f（x）取得最小值，f（x）min=f（﹣lna）=1﹣﹣ln，当a=1，时，f（﹣lna）=0，故f（x）只有一个零点，当a∈（1，+∞时，由1﹣﹣ln＞0，即f（﹣lna）＞0，故f（x）没有零点，当a∈（0，1）时，1﹣﹣ln＜0，f（﹣lna）＜0，由f（﹣2）=ae﹣4+（a﹣2）e﹣2+2＞﹣2e﹣2+2＞0，故f（x）在（﹣∞lna）有一个零点，假设存在正整数n0，满足n0＞ln（﹣1），则f（n0）=（a+a﹣2）﹣n0＞﹣n0＞﹣n0＞0，由ln（﹣1）＞﹣lna，因此在（﹣lna，+∞有一个零点．
a的取值范围（0，1）．
2．（2017新课标ⅱ）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．
1）求a；2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．
解答】（1）解：因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′（x）=a﹣．
则当a≤0时h′（x）＜0，即y=h（x）在（0，+∞上单调递减，所以当x0＞1时，h（x0）＜h（1）=0，矛盾，故a＞0．
因为当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0，所以h（x）min=h（），又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，所以=1，解得a=1；
2）证明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣，令t′（x）=0，解得：x=，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+上单调递增，所以t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x0，x2，且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0=0，所以f（x0）=﹣x0﹣x0lnx0=﹣x0+2x0﹣2=x0﹣，由x0＜可知f（x0）＜（x0﹣）max=﹣+
由f′（）0可知x0＜＜，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，所以f（x0）＞f（）=
综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．
3．（2017新课标ⅲ）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．
1）若 f（x）≥0，求a的值；
2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…1+）＜m，求m的最小值．
解答】解：（1）因为函数f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0，所以f′（x）=1﹣=，且f（1）=0．
所以当a≤0时f′（x）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞上单调递增，这与f（x）≥0矛盾；
当a＞0时令f′（x）=0，解得x=a，所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞上单调递增，即f（x）min=f（a），又因为f（x）min=f（a）≥0，所以a=1；
2）由（1）可知当a=1时f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1，所以ln（x+1）≤x当且仅当x=0时取等号，所以ln（1+）＜k∈n*．
一方面，ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）＜1﹣＜1，即（1+）（1+）…1+）＜e；
另一方面，（1+）（1+）…1+）＞1+）（1+）（1+）=2；
从而当n≥3时，（1+）（1+）…1+）∈2，e），因为m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…1+）＜m成立，所以m的最小值为3．
4．（2017江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈r）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
2）证明：b2＞3a；
3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．
2023年高考导数真题
2012高考试题分类汇编 导数。一 选择题。1.2012高考重庆文8 设函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是。答案 c解析 由函数在处取得极小值可知，则 则时，时，选c.2.2012高考浙江文10 设a 0，b 0，e是自然对数的底数。a.若ea 2a eb 3b，则a ...
2023年高考数学真题汇编 导数部分
1.2011 全国卷 曲线y e 2x 1在点 0,2 处的切线与直线y 0和y x围成的三角形的面积为 abcd 1 2.2011 湖南卷 曲线y 在点m处的切线的斜率为 abcd.3.2011 江苏卷 在平面直角坐标系xoy中，已知p是函数f x ex x 0 的图象上的动点，该图象在点p处的切...
2023年高考数学专题3 导数 理
2015年高考数学专题3 导数 理 1 2015高考福建，理10 若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是 ab c d 2 2015高考陕西，理12 对二次函数 为非零常数 四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是 a 是的零点b 1是的极值点。c...