第四讲导数及其应用（理）
★★高考在考什么。
考题回放】1．（福建）已知对任意实数，有，且时，，则时（ b ）
ab． cd．
2．（海南）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ d ）
3．（江西）设在内单调递增，，则是的（ b ）
．充分不必要条件必要不充分条件。
．充分必要条件既不充分也不必要条件。
4．（浙江）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ d ）
5．（广东）函数的单调递增区间是＿＿＿
6．若直线y=x是曲线y=x3-3x2+ax的切线，则a
★★高考要考什么。
1． 导数的定义：
2． 导数的几何意义：
1） 函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率；
2）函数在点处的导数，就是物体的运动方程在时刻时的瞬时速度；
3．要熟记求导公式、导数的运算法则、复合函数的导数等。尤其注意：和。
4．求函数单调区间的步骤：1）、确定f(x)的定义域，2）、求导数y′，3）、令y′>0(y′<0),解出相应的x的范围。当y′>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当y′<0时，f(x)在相应区间上是减函数。
5．求极值常按如下步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程=0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法， 检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。
6．设函数f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，求f(x)在[a,b]上的最大（小）值的步骤如下：(1)求f(x)在(a,b)内的极值，(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
7．最值（或极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。
★★ 突破重难点。
范例1】已知函数在处取得极值。
（1）讨论和是函数f(x)的极大值还是极小值；
2）过点作曲线y= f(x)的切线，求此切线方程。
1）解：，依题意，，即。
解得。 ∴令，得。
若，则，故。
f(x)在上是增函数，f(x)在上是增函数。
若，则，故f(x)在上是减函数。
所以，是极大值；是极小值。
2）解：曲线方程为，点不在曲线上。
设切点为，则点m的坐标满足。
因，故切线的方程为。
注意到点a（0，16）在切线上，有。
化简得，解得。
所以，切点为，切线方程为。
点晴】过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键。
范例2】（安徽理）设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.
ⅰ）令f（x）＝xf＇（x），讨论f（x）在（0.＋∞内的单调性并求极值；
ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.
解：（ⅰ根据求导法则有，故，于是，列表如下：
故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．
ⅱ）证明：由知，的极小值．
于是由上表知，对一切，恒有．
从而当时，恒有，故在内单调增加．
所以当时，，即．
故当时，恒有．
点晴】本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．
范例2】（湖北理）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．（i）用表示，并求的最大值；
ii）求证：（）
解：（ⅰ设与在公共点处的切线相同．，由题意，．
即由得：，或（舍去）．
即有．令，则．于是。
当，即时，；
当，即时，．
故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为．
ⅱ）设，则．
故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是．
故当时，有，即当时，．
点晴】本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
变式：已知函数。
（1）求函数y= f(x)的反函数的导数。
（2）假设对任意成立，求实数m的取值范围。
解：（1）；
令： 所以都是增函数。因此当时，的最大值为的最小值为而不等式②成立当且仅当即，于是得。
解法二：由得。
设。于是原不等式对于恒成立等价于③…7分。
由，注意到。
故有，从而可均在。
上单调递增，因此不等式③成立当且仅当。
即。点晴】求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单。
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