2004-2023年高考数学真题分类汇：函数。
一、选择填空题。
1.（江苏2023年5分）若函数的图象过两点(－1，0)和(0，1)，则【 】
a) =2，=2 (b)=，2 (c)=2，=1 (d)=，
答案】a。考点】对数函数的单调性与特殊点。
分析】将两点代入即可得到答案：
函数y=log（x+）（0，≠1）的图象过两点（－1，0）和（0，1），log（－1+）=0，log（0+）=1。
=2，=2。故选a。
2.（江苏2023年5分）函数在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是【 】
a)1，－1 (b)1，－17 (c)3，－17 (d)9，－19
答案】c。考点】函数的最值及其几何意义。
分析】用导研究函数在闭区间[－3，0]上的单调性，利用单调性求函数的最值：，且在[－3，－1）上，在（－1，0]上。
函数在[－3，－1]上是增函数，在[－1，0]上是减函数。
又∵，函数在闭区间[－3，0]上的最大值是3，最小值分别为－17。故选c。
3.（江苏2023年5分）函数的反函数的解析表达式为【 】
a． b． c． d．
答案】a。考点】反函数。
分析】由函数解析式解出自变量，再把 、位置互换，即可得到反函数解析式：
的反函数为：。故选 a。
4.（江苏2023年4分）若，,则= ▲
答案】－1。
考点】指数函数的单调性与特殊点。
分析】先判断出0.618所在的范围，必须与3有关系，再根据在定义域上是增函数，得出所在的区间，即能求出的值：
＜0.618＜1，且函数在定义域上是增函数，，－1＜＜0，则=－1。
5.（江苏2023年4分）已知为常数，若，，则=
答案】2。考点】复合函数解析式的运用，待定系数法。
分析】由，
得：，即：。
比较系数得：，解得或。
求得：。6.（江苏2023年5分）设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有【 】
ab．cd．
答案】b。考点】指数函数的单调性与特殊点，函数图象的对称性。
分析】由函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，为单调增函数，由对称性知当时，是单调减函数，其图象的特征是自变量离1的距离越远，其函数值越大。，∴故选b。
7.（江苏2023年5分）设是奇函数，则使的的取值范围是【 】
abc． d．
答案】a。考点】奇函数的性质，对数函数的单调性。
分析】∵是奇函数，∴得。
由得解得 。故选a。
8.（江苏2023年5分）函数的单调减区间为 ▲
答案】。考点】利用导数判断函数的单调性。
分析】要求函数的单调减区间可先求出，并令其小于零得到关于的不等式求出解集即可：，由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。
9.（江苏2023年5分）已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 ▲
答案】＜。考点】指数函数的单调性。
分析】∵，函数在r上递减。由得：＜。
10.（江苏2023年5分）设函数是偶函数，则实数= ▲
答案】－1。
考点】函数奇偶性的性质。
分析】∵是偶函数，∴为奇函数。
即。∴=1。
11.（江苏2023年5分）已知函数，则满足不等式的的范围是。
答案】。考点】分段函数的单调性。
分析】分段讨论：
当时，，，则，。∴无解。
当时，，，则，。∴由得，1，解得。∴此时的范围是（－1，0）。
当时，，，则，。∴由得，，解得。∴此时的范围是[0，）。
当时，，，则，。∴由得1，无解。
综上所述，满足不等式的的范围是。
12.（江苏2023年5分）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则s的最小值是 ▲
答案】。考点】求闭区间上函数的最值。
分析】设剪成的小正三角形的边长为，则：
令，则：。当时，有最大值，其倒数有最小值。
当，即时，s的最小值是。
本题还可以对函数s进行求导，令导函数等于0求出的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值。
13.（江苏2023年5分）函数的单调增区间是 ▲
答案】。考点】对数函数图象和性质。
分析】由，得，所以函数的单调增区间是。
14.（江苏2023年5分）已知实数，函数，若，则a的值为 ▲
答案】。考点】函数的概念，函数和方程的关系，含参数的分类讨论。
分析】根据题意对分类：
当时， ，解之得，不合舍去；
当时，，，解之得。
15.（江苏2023年5分）在平面直角坐标系中，已知点p是函数的图象上的动点，该图象在p处的切线交y轴于点m，过点p作的垂线交y轴于点n，设线段mn的中点的纵坐标为，则的最大值是 ▲
答案】。考点】指数运算，函数的导数的求法及导数的几何意义，导数用于求函数的最值。
分析】设p点坐标为，由得，的方程为，令得，。
过点p的的垂线方程为，令得，。
对函数求导，得，在上单调增，在单调减，当时，函数的最大值为。
16. （2023年江苏省5分）函数的定义域为 ▲
答案】。考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。
解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得。
17. （2023年江苏省5分）已知函数的值域为，若关于x的不等式。
的解集为，则实数c的值为 ▲
答案】9。考点】函数的值域，不等式的解集。
解析】由值域为，当时有，即，
∴解得，。不等式的解集为，∴，解得。
18、（2013江苏卷1）、函数的最小正周期为。
19、（2013江苏卷11）11．已知是定义在上的奇函数。当时，，则不等式的解集用区间表示为。
10、（2013江苏卷13）13．在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 。
答案：13．或
二、解答题。
1.（江苏2023年12分）已知，函数。
当时，求使成立的的集合；（4分）
求函数在区间上的最小值（10分）
答案】解：（1）由题意，当时，由，解得或；
当时，由，解得。
综上，所求解集为。
2）设此最小值为。
当时，在区间[1，2]上，是区间[1，2]上的增函数，所以。
当时，在区间[1，2]上，，由知，。
当时，在区间[1，2]上，若，在区间（1，2）上，，则是区间[1，2]上的增函数，。
若，则，当时，，则是区间[1，]上的增函数，当时，，则是区间[，2]上的减函数，当时，或。
当时，，故。
当时，，故。
综上所述，，所求函数的最小值。
考点】函数与导数综合运用，分段函数的解析式求法。
分析】（1）把代入函数解析式，根据绝对值的符号分为两种情况，即和分别求解对应方程得根，再把所有的根用列举法表示出来。
2）根据区间[1，2]和绝对值内的式子进行分类讨论，即、和三种情况，分别求出解析式和它的导函数，利用导函数的符号判断在闭区间上的单调性，再求最小值；当时最小值可能取在区间的两端，再通过作差和分类进行比较两个函数值的大小，最后用分段函数表示函数的最小值。
2.（江苏2023年16分） 设a为实数，设函数的最大值为g(a)。
ⅰ）设＝，求的取值范围，并把表示为的函数（4分）
ⅱ）求 （6分）
ⅲ）试求满足的所有实数（6分）
答案】解：（ⅰ对于，要使有意义，必须且，即。，。的取值范围是。
由得，∴。ⅱ）由题意知为函数的最大值，注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论：
当时，函数， 的图象是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，2)当时，，，
3)当时，函数， 的图象是开口向下的抛物线的一段，若，即则；
若，即则；若，即则
综上，得 。
ⅲ）情形1：当时，此时，。由解得，与矛盾。
情形2：当时，，此时，。由解得与矛盾。
情形3：当时，，此时。 所以。
情形4：当时，，此时，。由解得，与矛盾。
情形5：当时，，此时，。由解得，与矛盾。
情形6：当时，，此时， 。由解得，由得。
综上所述，满足的所有实数为或。
考点】函数最值的应用。
分析】（i）由＝先求定义域，再求值域。由转化。
ii）求的最大值，即求函数的最大值．严格按照二次函数求最值的方法进行。
iii）要求满足的所有实数，则必须应用的解析式，它是分段函数，必须分情况选择解析式进行求解。
3.（江苏2023年16分）已知是不全为的实数，函数，方程有实根，且的实数根都是的根，反之，的实数根都是的根，1）求的值；（3分）
2）若，求的取值范围；（6分）
3）若，求的取值范围。（7分）
答案】解：（1）设是的根，那么，则是的根，则即，∴。
2）∵，则==0的根也是的根。
a）当， 时，此时的根为0，而的根也是0，∴。
b）当， 时，的根为0，而的根也是0。
c）当，时，的根为0和，而的根不可能为0和，必无实数根，，由解得。
综上所述，当时，；当时，。
3），∴即的根为0和1。
=0必无实数根。
a）当时，==即函数在，恒成立。
又，∴，即。
b）当时，==即函数在，恒成立。
又，∴，即，而，∴，不可能小于0。
c）则这时的根为一切实数，而，∴符合要求。
综上所述，。
考点】函数与方程的综合运用。
分析】（1）不妨设为方程的一个根，即，则由题设得，从而由求解。
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