曲线运动万有引力。
类型一：运动的合成与分解的应用。
例1．一条宽度为l的河流，水流速度为vs,已知船在静水中的速度为vc，那么：
1）怎样渡河时间最短？
2）若vc>vs,怎样渡河位移最小？
（3）若vc针对训练1：如图所示，杆oa长为r，可绕过o点的水平轴在竖直平面内转动，其端点a系着一跨过定滑轮b、c的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块m。滑轮的半径可忽略，b在o的正上方，ob之间的距离为h。
某一时刻，当绳的ba段与ob之间的夹角为α时，杆的角速度为ω，求此时物块m的速率vm。
类型二：平抛运动的相关问题。
例2．如图所示，一足够长的固定光滑斜面与水平面的夹角为53°，物体a以初速度v1从斜面顶端水平抛出，物体b在斜面上距顶端l=20m处同时以速度v2沿斜面向下匀加速运动，经历时间t物体a和物体b在斜面上相遇，则下列各组速度和时间中满足条件的是（cos53°=0.6，sin53°=0.8，g=10 m/s2）
a．v1=15m/s，v2=4 m/s，t=4s
b．v1=15 m/s，v2=6 m/s，t=3s
c．v1=18 m/s，v2=4 m/s，t=4s
d．v1=18m/s，v2=6 m/s，t=3s
针对训练2：如图在倾角为θ的斜面顶端a处以速度v0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点b处，设空气阻力不计，求（1）小球从a运动到b处所需的时间；（2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？
类型三：匀速圆周运动的特点分析求解皮带传动和摩擦传动问题。
例3．如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。
类型四：水平面内和竖直面内的圆周运动问题。
例4．如图所示，两绳系一质量为m=0.1kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的ab两处，上面绳长l=2m，两绳拉直时与轴的夹角分别为30°和45°，问球的角速度在什么范围内两绳始终有张力？
针对训练（08年山东）某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内（所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多），底端与水平地面相切。弹射装置将一个小物体（可视为质点）以va=5m/s的水平初速度由a点弹出，从b点进入轨道，依次经过“8002”后从p点水平抛出。小物体与地面ab段间的动摩擦因数u=0.
3,不计其它机械能损失。已知ab段长l＝1. 5m，数字“0”的半径r＝0.
2m，小物体质量m=0.01kg,g=10m/s2。求：
（1）小物体从p点抛出后的水平射程。（2）小物体经过数这“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向。
类型五：会用万有引力定律求天体的质量和密度。
例5．宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为l。若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为l。
已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为r，万有引力常数为g。求该星球的质量m。
类型六：卫星运动及航天技术。
例6．2023年9月3日欧洲航天局的第一枚月球探测器“智能1号”成功撞上月球。已知“智能1号”月球探测器环绕月球沿椭圆轨道运动，用m表示它的质量，h表示它近月点的高度，ω表示它在近月点的角速度，a表示它在近月点的加速度，r表示月球的半径，g表示月球表面处的重力加速度。忽略其他星球对“智能1号”的影响。
则“智能1号”在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于。
a．mab．m
c．md．以上结果都不对。
四、热点分析。
1）平抛运动。
例1、（08年广东）某同学对着墙壁练习打网球，假定球在墙面上以25m/s的速度沿水平方向**，落地点到墙面的距离在10m至15m之间，忽略空气阻力，取g=10m/s2,球在墙面上**点的高度范围是( )
a.0.8m至１.8mb.0.8m至1.6m
c.1.0m至1.6md.1.0m至1.8m
2）天体运动。
例2我国发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.
9 km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为（ ）
a.0.4 km/sb.1.8 km/s c.11 km/s d.36 km/s
五、能力突破：
1）平抛运动在实际生活中的运用。
例1、国家飞碟射击队进行模拟训练用如图1的装置进行。被训练的运动员在高为h=20m的塔顶，在地面上距塔的水平距离s处有一电子抛靶装置。圆形靶以速度竖直上抛。
当靶被竖直上抛的同时，运动员立即用特制的手枪水平射击，子弹的速度。不计人的反应时间、抛靶装置的高度和子弹在枪膛中的运动时间，忽略空气阻力及靶的大小（g=10m/s2）。求：
（1）当s取值在什么范围内，无论v2为何值都不能击中靶？（2）若s=100m，v2=20m/s，请通过计算说明靶能否被击中？
2）平抛运动和天体运动相结合。
例2、据报道最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍。已知一个在地球表面质量为的人在这个行星表面的重量约为800n，地球表面处的重力加速度为。求：
1）该行星的半径与地球的半径之比约为多少？
2）若在该行星上距行星表面2m高处，以的水平初速度抛出一只小球（不计任何阻力），则小球的水平射程是多大？
3）万有引力定律的应用
例3、为了迎接太空时代的到来，美国国会通过一项计划：在2023年前建造成太空升降机，就是把长绳的一端搁置在地球的卫星上，另一端系住长降机。放开绳，升降机能到达地球上；人坐在升降机里，在卫星上通过电动机把升降机拉到卫星上。
已知地球表面的重力加速g=10m/s2，地球半径为r。求：
（1）某人在地球表面用体重计称得重800n，站在升降机中，当长降机以加速度a=g（g为地球表面处的重力加速度）竖直上升，在某处此人再一次用同一体重计称得视重为850n，忽略地球自转的影响，求升降机此时距地面的高度；
（2）如果把绳的一端搁置在同步卫星上，地球自转的周期为t，求绳的长度至少为多长。
4）开普勒三定律中、万有引力在神舟七号飞船的应用。
例4、开普勒三定律也适用于神舟七号飞船的变轨运动。 飞船与火箭分离后进入预定轨道， 飞船在近地点(可认为近地面)开动发动机加速， 之后，飞船速度增大并转移到与地球表面相切的椭圆轨道， 飞船在远地点再次点火加速， 飞船沿半径为r的圆轨道绕地运动。 设地球半径为r，地球表面的重力加速度为g， 若不计空气阻力，试求神舟七号从近地点到远地点时间（变轨时间）.
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