第四课时万有引力定律及应用。
第一关：基础关展望高考。
基础知识。一、万有引力定律。
知识讲解。1.内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们距离的二次方成反比。
2.公式。式中r表示两质点间的距离，m1\,m2表示两质点的质量，g表示引力常量，g=6.67×10-11 n\5m2/kg2.
3.适用条件。
万有引力公式适用于两质点间的引力大小的计算。
对于可视为质点的物体间的引力的求解也可以利用万有引力公式，如两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看做质点；均匀球体可视为质量集中于球心的质点。
当研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一个物体上所有质点的万有引力，然后求合力。例如将物体放在地球的球心时，由于物体各方面受到相互对称的万有引力，故合外力为零。
活学活用。1.如图所示，两球的半径分别是r1和r2,而球的质量分布均匀，大小分别是m1和m2，则两球间的万有引力大小为()
解析：万有引力定律中，两个物体间的距离r,对于相距很远可以看成质点的物体是两个质点的距离；如果不能看成质点但两物体是球体而且质量分布均匀，r是两球心之间的距离。因此：
答案：d二、三个宇宙速度。
知识讲解。1.第一宇宙速度：
要想发射人造卫星，必须具有足够的速度，发射人造卫星最小的发射速度称为第一宇宙速度，v=7.9 km/s.但却是绕地球做匀速圆周运动的各种卫星中的最大环绕速度。
2.第二宇宙速度：
当人造卫星进入地面附近的轨道速度大于7.9 km/s时，它绕地球运行的轨迹就不再是圆形，而是椭圆形。当卫星的速度等于或大于11.
2 km/s时，卫星就会脱离地球的引力不再绕地球运行，成为绕太阳运行的人造行星或飞到其他行星上去，我们把11.2 km/s称为第二宇宙速度，也称脱离速度。
3.第三宇宙速度：
当物体的速度等于或大于16.7 km/s时，物体将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间中去，我们把16.7 km/s称为第三宇宙速度，也称逃逸速度。
活学活用。2.我国将要发射一颗绕月球运行的探月卫星“嫦娥一号”.
设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的速度约为()
a.0.4 km/s
b.1.8 km/s
c.11 km/s
d.36 km/s
解析：由题意知该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面，实质上它绕月球运行的速度是月球的第一宇宙速度。根据万有引力提供向心力得得近地(月)卫星的线速度为，则近月卫星与近地卫星的线速度之比为，所以近月卫星的线速度为。
所以选项b正确。
答案：b三、近地卫星和同步卫星。
知识讲解。1.近地卫星。
所谓近地卫星，是指卫星的运行轨道半径等于地球的半径，卫星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供。它的运行速度为第一宇宙速度，也是卫星的最大环绕速度。
2.地球同步卫星的六个一定。
位置一定(必须位于地球赤道的上空)
地球同步卫星绕地球旋转的轨道平面一定，与地球的赤道面重合。
如图所示，假设同步卫星的轨道平面与赤道平面不重合，同步卫星由于受到地球指向地心的万有引力f的作用，绕地轴做圆周运动，f的一个分力f1提供向心力，而另一个分力f2将使同步卫星不断地移向赤道面，最终直至与赤道面重合为止(此时万有引力f全部提供向心力),不可能定点在我国某地的正上方。
周期(t)一定。
a.同步卫星的运行方向与地球自转方向一致。
b.同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，t=24 h.
角速度(ω)一定。
由公式得，地球同步卫星的角速度，因为t恒定，π为常数，故ω也一定。
向心加速度(a)大小一定。
地球同步卫星的向心加速度为a,则由牛顿第二定律和万有引力定律得。
距离地球表面的高度(h)一定。
由于万有引力提供向心力，则在ω一定的条件下，同步卫。
星的高度不具有任意性，而是唯一确定的。根据。
环绕速率一定。
在轨道半径一定的条件下，同步卫星的环绕速率也一定，且为。
活学活用。3.用m表示地球同步通信卫星的质量、h表示卫星离地面的高度、m表示地球的质量、r0表示地球的半径、g0表示地球表面处的重力加速度、t0表示地球自转的周期、ω0表示地球自转的角速度，则地球同步通信卫星的线速度v为()
a.ω0(r0+h)b.c
d解析：设地球同步卫星离地心的高度为r,则r=r0+h
所以线速度：v=ωr=ω0(r0+h)
同步卫星做圆周运动由万有引力提供向心力：
得：,又因为：
则，故选项a、b、c、d均正确。
答案：abcd
第二关：技法关解读高考。
解题技法。一、万有引力定律的应用。
技法讲解。应用万有引力定律分析天体运动的基本方法：
在地球上，通常物体的质量都较小，所以通常物体之间的万有引力很小，分析地球上物体的受力情况时，一般都不考虑物体之间的万有引力（重力除外）.但天体的质量很大，所以天体之间的万有引力很大，实际上，正是天体之间的万有引力决定了天体的运动规律。中学阶段我们处理天体问题，有两个基本出发点：
（1）把天体的运动看作是匀速圆周运动；（2）万有引力提供天体做匀速圆周运动的向心力。然后，利用牛顿第二定律把这两点联系起来。所以牛顿第二定律是分析天体运动的基本规律，即：
1.求天体质量。
通过观测卫星绕天体做匀速圆周运动的周期t、半径r，由牛顿运动定律得：
故天体的质量为：
注意，这种方法只能求处在圆心上的天体质量。
2.测天体的密度。
设天体的质量为m，半径为r，则其体积为，若天体的某颗卫星的质量为m，其轨道半径为r，运行周期为t，由得：
故天体的密度为：
当卫星的轨道半径r与天体的半径相等时，即r=r时，典例剖析。
例1某行星运行一昼夜时间t=6 h，若弹簧秤在其“赤道”上比“两极”处测同一物体重力时，读数小10%.
1）则该行星的密度为多大？
2）设想该行星自转角速度加快到某一值时，在“赤道”上的物体会“飘”起来，这时该行星的自转周期是多少？
解析：（1）在两极，因物体随行星自转半径为零，无需向心力，其万有引力等于重力，；在赤道上，万有引力分解为两个分力，其一是物体重力，其二为物体随行星转动的向心力，即。
所以。密度。
对物体原来有。
飘起来时：由上述两式得。
答案：（1）3.1×103 kg/m3(2)1.9 h
二、同步卫星问题。
技法讲解。地球同步卫星，是相对于地面静止的、和地球自转同步的卫星，其周期t=24 h，同步卫星必须位于赤道的正上方，距离地面高度是一定的，为h=3.6×104 km处。
1.高度的求法。
设地球质量为m，地球半径为r=6.4×106 m，卫星质量为m，根据牛顿第二定律有：
又gm=r2g
以上两式联立解得：
同步卫星距地面的高度为：
h=（4.2×107-6.4×106)m=3.56×107 m.
或根据。将各已知量代入求出同步卫星的高度h.
2.同步卫星与其他卫星的区别。
所有卫星的轨道平面都通过地球球心。同步卫星的轨道半径、运行周期、运行速率都是确定的；一般卫星的轨道半径、运行周期、运行速率是可以变化的，但运行速率的最大值不能超过7.9 km/s,最小周期不能小于85 min.
典例剖析。例2
地球同步卫星到地心的距离r可由。
求出，已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则（）
a是地球半径，b是地球自转角速度，c是地球表面处的重力加速度。
a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度。
a是赤道周长，b是地球自转周期，c是同步卫星的加速度。
a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度。
a.①②b.①③
c.④d.③④
解析：人造地球卫星做匀速圆周运动所需要向心力由万有引力提供。据可确定r、t的关系式，故能求解。
对同步卫星有，在地面处有其中r是卫星的轨道半径，r是地球半径，t为同步卫星的运转周期，因卫星与地球同步，t应等于地球自转周期。由以上两式得。故选项c正确。
答案：c三、估算问题。
技法讲解。1.物理估算，一般是依据一定的物理概念和规律，运用物理方法和近似计算方法，对分析物理量的数值或取值范围进行大致的推算。
2.物理估算是一种重要方法，有的物理问题，在符合精确度的前提下，可以用近似的方法简捷处理；有的物理问题，由于本身条件的特殊性，不需要也不可能进行精确计算。在这种情况下，估算就成为一种既符合科学又有实用价值的特殊方法。
3.有一些天体方面的估算题，常需要利用一些隐含条件或生活中的物理常识，应有意识地加以利用。如在地球表面的物体受到的万有引力近似等于重力；地球表面附近重力加速度g=9.
8 m/s2，地球自转周期t=24 h，公转周期t′=365天，月球绕地球自转周期约为30天等。
典例剖析。例3
已知地球的半径为r0=6.4×106 m，又知月亮绕地球的运动可以近似看做匀速圆周运动，则可以估算出月球到地心的距离为多少？（结果保留两位有效数字）
解析：月球到地心的距离就是月球的轨道半径。已知月球绕地球运动的周期为t=30天，设地球、月亮的质量分别为m、m，轨道半径为r，则有，地球表面附近，则有gmmr20=mg，联立上面两式代入数据得。
r=4.0×108 m.
答案：4.0×108 m
第三关：训练关笑对高考。
随堂训练。1.2023年9月25日21时10分，载着翟志刚、刘伯明、景海鹏三位宇航员的“神舟七号”飞船在中国酒泉卫星发射中心发射成功，9月27日翟志刚成功实施了太空行走。
已知“神舟七号”飞船在离地球表面h高处的轨道上做周期为t的匀速圆周运动，地球的半径为r，万有引力常量为g.下列说法不正确的是()
a.“神七”运行的线速度大小为。
b.“神七”运行的线速度小于第一宇宙速度。
c.“神七”运行时的向心加速度大小为。
d.地球表面的重力加速度大小为。
解析：“神舟七号”航天飞船线速度大小为，选项a错误；向心加速度大小，选项c正确；用m表示地球的质量，对航天飞船m有在地球表面由以上两式解得选项d正确。
答案：a2.我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站。
如图所示，关闭动力的航天飞机在月球引力作用下向月球靠近，并将与空间站在b处对接，已知空间站绕月轨道半径为r,周期为t,万有引力常量为g,下列说法中不正确的是()
a.图中航天飞机正在加速飞向b处。
b.航天飞机在b处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火减速。
c.根据题中条件可以算出月球质量。
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