关于2023年湖北高考理科数学压轴题的赏析。
2023年高考已经尘埃落定，数学卷难度较去年有所上升，尤其是最后一道不等式压轴题，能力要求较高，背景较深刻题目如下：
题1：（ⅰ已知函数，求函数的最大值。
（ⅱ）设均为正数，证明：
1) 若，则。
2) 若，则。
我们先欣赏一下命题组提供的参考证法，然后再对本题作赏析，证法一（命题组提供）
ⅰ）的定义域为，令，解得。
当时，，在内是增函数，当时，，在内是减函数，故函数在处取得最大值。
ⅱ）（1）.由（ⅰ）知，当时，有即，，从而有，得。
求和得。即。
2）.①先证。
令，则，于是由（1）得。即。故。
再证。记，令则。
于是由（1）得，即。
综合。①②法二由，我们可以考虑加强待证的不等式。
成立。即我们只须证明。
在中令=1，我们得到。
而这个和就是著名的加权平均不等式。
下面为了书写的方便，我们引进几种记号。
当时，式显然成立。
假设当时，式成立，即。
等号成立当且仅当。
那么当时，注意到，并且设考虑关于的函数。
则。因此有最小值，其中为导函数方程的正根，即。
即。故当时，式成立等号成立当且仅当。
综上知对任意，式式成立等号成立当且仅当。
法二：考虑函数。
因此有最大值，其中为导函数方程的正根，即。
解得。故即，令。
得。当时，式显然成立。
当时，成立。
假设当时，式成立，即。
这表明当时，式成立。
综上知对任意，式式成立等号成立当且仅当。
评注：在这里我们应用了反向数学归纳法。当然我们也可以直接应用数学归纳来解决这个问题，证明如下：
当时，式显然成立。
当时，成立。
假设当时，式成立，即。
现在证明时，式成立。
首先由归纳假设有。
所以。由得。即。于是。
即时，式成立。
湖北省2023年高考压轴卷
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