2024年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工农医类）全解全析。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（ ）
答案：选ｂ解析：由展开式通项有。
由题意得，故当时，正整数的最小值为5，故选ｂ
点评：本题主要考察二项式定理的基本知识，以通项公式切入探索，由整数的运算性质易得所求。本题中“ 非零常数项”为干扰条件。
易错点：将通项公式中误记为，以及忽略为整数的条件。
2．将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）
答案：选ａ解析：法一由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点，，则，带入到已知解析式中可得选ａ
法二由平移的意义可知，先向左平移个单位，再向下平移2个单位。
点评：本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入，为简单题。
易错点：将向量与对应点的顺序搞反了，或死记硬背以为是先向右平移个单位，再向下平移2个单位，误选ｃ
3．设和是两个集合，定义集合，如果，，那么等于（ ）
答案：选ｂ解析：先解两个不等式得，。由定义，故选ｂ
点评：本题通过考察两类简单不等式的求解，进一步考察对集合的理解和新定义的一种运算的应用，体现了高考命题的创新趋向。此处的新定义一般称为两个集合的差。
易错点：对新定义理解不全，忽略端点值而误选ａ，以及解时出错。
4．平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：
与相交与相交或重合；
与平行与平行或重合．
其中不正确的命题个数是（ ）
答案：选ｄ解析：由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，可知①②③均错， 具体可观察如图的正方体：
但不垂直，故①错；但在底面上的射影都是。
故②错；相交，但异面，故③错；但异面，故④错。
点评：本题主要考察空间线面之间位置关系，以及射影的意义理解。关键是要理解同一条直线在不同平面上的射影不同；线在面内，线面平行，线面相交的不同位置下，射影也不相同。
要从不用的方向看三垂线定理，充分发挥空间想象力。
易错点：空间想象力不够，容易误判③、④正确，而错选ｂ或ｃ
5．已知和是两个不相等的正整数，且，则（ ）
a．0b．1cd．
答案：选c解析：法一特殊值法，由题意取，则，可见应选c
法二 令，分别取和，则原式化为。
所以原式=（分子、分母1的个数分别为个、个）
点评：本题考察数列的极限和运算法则，可用特殊值探索结论，即同时考察学生思维的灵活性。当不能直接运用极限运算法则时，首先化简变形，后用法则即可。
本题也体现了等比数列求和公式的逆用。
易错点：取特值时忽略和是两个不相等的正整数的条件，误选b；或不知变形而无法求解，或者认为是型而误选b，看错项数而错选d
6．若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”．
甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（ ）
a．甲是乙的充分条件但不是必要条件。
b．甲是乙的必要条件但不是充分条件。
c．甲是乙的充要条件。
d．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件。
答案：选b解析：由等比数列的定义数列，若乙：是等比数列，公比为，即则甲命题成立；反之，若甲：数列是等方比数列，即。
即公比不一定为， 则命题乙不成立，故选b
点评：本题主要考察等比数列的定义和创新定义的理解、转换。要是等比数列，则公比应唯一确定。
易错点：本题是易错题。由，得到的是两个等比数列，而命题乙是指一个等比数列，忽略等比数列的确定性，容易错选c
7．双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的准线为，焦点为与的一个交点为，则等于 （ abcd．
答案：选a解析：由题设可知点同时满足双曲线和抛物线的定义，且在双曲线右支上，故由定义可得。
故原式 ，选a
点评：本题主要考察双曲线和抛物线的定义和性质，几何条件列方程组，消元后化归曲线的基本量的计算，体现数形结合方法的重要性。
易错点：由于畏惧心理而胡乱选择，不能将几何条件有机联系转化，缺乏消元意识。
8．已知两个等差数列和的前项和分别为a和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）
a．2b．3c．4d．5
答案：选d解析：由等差数列的前项和及等差中项，可得，故时，为整数。故选d
点评：本题主要考察等差数列的性质，等差中项的综合应用，以及部分分式法，数的整除性。
是传统问题的进一步深化，对教学研究有很好的启示作用。
易错点：不能将等差数列的项与前项和进行合理转化，胡乱选择。
9．连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（ ）
abcd．
答案：选c解析：由向量夹角的定义，图形直观可得，当点位于直线上及其下方时，满足，点的总个数为个，而位于直线上及其下方的点有个，故所求概率，选c
点评：本题综合考察向量夹角，等可能事件概率的计算以及数形结合的知识和方法。
易错点：不能数形直观，确定点的位置，或忽略夹角范围中的，而误选a
10．已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）
a．60条b．66条c．72条d．78条。
答案：选a解析：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆。
上的整数点共有12个，分别为，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成条直线，其中有4条直线垂直轴，有4条直线垂直轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条。综上可知满足题设的直线共有条，选a
点评：本题主要考察直线与圆的概念，以及组合的知识，既要数形结合，又要分类考虑，要结合圆上点的对称性来考虑过点的直线的特征。是较难问题。
易错点：不能准确理解题意，甚至混淆。对直线截距式方程认识不明确，认识不到三类特殊直线不能用截距式方程表示；对圆上的整数点探索不准确，或分类不明确，都会导致错误，胡乱选择。
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．
11．已知函数的反函数是，则。
答案： 解析：由互反函数点之间的对称关系，取特殊点求解。在上取点，得点在上，故得；又上有点，则点在
点评：本题主要考察反函数的概念及其对称性的应用。直接求反函数也可，较为简单。
易错点：运算错误导致填写其他错误答案。
12．复数，且，若是实数，则有序实数对可以是写出一个有序实数对即可）
答案：或满足的任意一对非零实数对。
解析：由复数运算法则可知，由题意得，答案众多，如也可。
点评： 本题主要考察复数的基本概念和运算，有一般结论需要写出一个具体结果，属开放性问题。
易错点：复数运算出错导致结果写错，或审题马虎，只写出，不合题意要求。
13．设变量满足约束条件则目标函数的最小值为
答案： 解析：由约束条件得如图所示的三角形区域，令，显然当平行直线过点。
时，取得最小值为。
点评：本题主要考察线性规划的基本知识，考察学生的动手能力作图观察能力。
易错点：不能准确画出不等式组的平面区域，把上下位置搞错，以及把直线间的相对位置搞错，找错点的位置而得到错误结果。
14．某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值作答）
答案： 解析：由题意知所求概率。
点评：本题考察次独立重复试验中，某事件恰好发生次的概率，直接用公式解决。
易错点：把“恰好投进3个球”错误理解为某三次投进球，忽略“三次”的任意性。
15为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；
药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示．
据图中提供的信息，回答下列问题：
）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间。
小时）之间的函数关系式为。
）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么， 药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室．
答案：（）解析：（）由题意和图示，当时，可设（为待定系数），由于点在直线上，；同理，当时，可得。
）由题意可得，即得或或。
由题意至少需要经过小时后，学生才能回到教室．
点评：本题考察函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力。
易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，在（）中填写了其他错误答案。
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知的面积为，且满足，设和的夹角为．
）求的取值范围；
）求函数的最大值与最小值．
本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．
解：（ⅰ设中角的对边分别为，则由，，可得，．
即当时，；当时，．
17．（本小题满分12分）
在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：
）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；
）估计纤度落在中的概率及纤度小于的概率是多少？
）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间的中点值是）作为代表．据此，估计纤度的期望．
本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力．
解：（ⅰⅱ）纤度落在中的概率约为，纤度小于1.40的概率约为．
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